Вычислить интеграл методом подстановки

Предмет: Математика

Раздел предмета: Интегральное исчисление

Чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся методом подстановки.

\[ \int_{0}^{1} \cos(9x^2) \, dx \]

Сделаем подстановку \( u = 9x^2 \). Тогда \( du = 18x \, dx \) или \( \frac{du}{18} = x \, dx \).

Теперь выразим пределы интегрирования:

• При \( x = 0 \), \( u = 9(0)^2 = 0 \)
• При \( x = 1 \), \( u = 9(1)^2 = 9 \)

Таким образом, интеграл преобразуется:

\[ \int_{0}^{1} \cos(9x^2) \, dx = \int_{0}^{9} \cos(u) \cdot \frac{du}{18} \]

Выносим константу \( \frac{1}{18} \) за знак интеграла:

\[ \frac{1}{18} \int_{0}^{9} \cos(u) \, du \]

Теперь вычисляем интеграл по \( u \):

\[ \frac{1}{18} \left[ \sin(u) \right]_{0}^{9} \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ \frac{1}{18} \left[ \sin(9) - \sin(0) \right] \]

Так как \( \sin(0) = 0 \), получаем:

\[ \frac{1}{18} \sin(9) \]

Таким образом, значение интеграла равно:

\[ \frac{\sin(9)}{18} \]

Ответ: \( \frac{\sin(9)}{18} \)