Вычислить интеграл или установить его расходимость . Можно ли применить формулу ньютона Лейбница при расчете интеграла

Это задание по математике, раздел - математический анализ, конкретнее - изучение определенных интегралов.

Задание - вычислить определенный интеграл или установить его расходимость. Итак, рассмотрим интеграл: \[ \int_{0}^{1} \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \] Для начала проверим возможность применения формулы Ньютона-Лейбница к данному интегралу.

Формула Ньютона-Лейбница (основная теорема анализа) применима к определенным интегралам функции, непрерывной на [a, b]. В данном случае: \[ f(x) = \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^2}} \] существует и определена на \( [0, 1) \) , однако не определена в точке \( x = 1 \) , поскольку знаменатель обращается в 0. Поэтому нужно проверить поведение функции в окрестности \( x = 1 \) .

Интеграл будет расходимым, если: \[ \int_{0}^{1} \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \infty \] Рассмотрим поведение функции возле точки \( x = 1 \) : \[ f(x) = \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^2}} \quad \text{приближается к} \quad \frac{ \arcsin(1)}{\sqrt{1 - 1^2}} = \frac{ \pi/2}{0}, \] что указывает на бесконечность. Это указывает на то, что интеграл расходится.

Таким образом, данный интеграл расходится и формулу Ньютона-Лейбница применить нельзя.