Вычислить интеграл или установить его расходимость

Предмет и раздел

Предмет: Математика (Высшая математика)
Раздел: Интегралы (несобственные интегралы)

Условие

Нам дан несобственный интеграл: $\text{[}{\int }_e^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x({\ln }^{2}x+1)}\text{]}$

Решение

Шаг 1: Исследуем поведение подынтегральной функции на бесконечности

Рассмотрим подынтегральную функцию: $\text{[}f(x)=\frac{1}{x({\ln }^{2}x+1)}\text{]}$
На бесконечности, $\text{(}{\ln }^{2}x\text{)}$ растет бесконечно, поэтому $\text{(}{\ln }^{2}x+1\text{)}$ также растет бесконечно.

Шаг 2: Замена переменной

Введем новую переменную $\text{(}t=\ln x\text{)}$, тогда $\text{(}dt=\frac{dx}{x}\text{)}$.
Пределы интегрирования при этом изменятся: при $\text{(}x=e\text{)}$ имеем $\text{(}t=1\text{)}$, а при $\text{(}x\to \mathrm{\infty }\text{)}$ имеем $\text{(}t\to \mathrm{\infty }\text{)}$.
Теперь перепишем интеграл в новых переменных: $\text{[}{\int }_e^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x({\ln }^{2}x+1)}={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{dt}{t^2+1}\text{]}$

Шаг 3: Вычисление интеграла

Интеграл $\text{(}\int \frac{dt}{t^2+1}\text{)}$ является известным и его первообразная равна $\text{(}\arctan t\text{)}$: $\text{[}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{dt}{t^2+1}={[\arctan t]}_1^{\mathrm{\infty }}\text{]}$

Шаг 4: Вычисление значений первообразной на границах

$\text{[}{[\arctan t]}_1^{\mathrm{\infty }}=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\arctan t-\arctan 1\text{]}$
Так как $\text{(}\arctan t\to \frac{\pi }{2}\text{)}$ при $\text{(}t\to \mathrm{\infty }\text{)}$ и $\text{(}\arctan 1=\frac{\pi }{4}\text{)}$: $\text{[}\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}\text{]}$

Ответ

$\text{[}{\int }_e^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x({\ln }^{2}x+1)}=\frac{\pi }{4}\text{]}$
Интеграл сходится и его значение равно $\text{(}\frac{\pi }{4}\text{)}$.