Вычислить интеграл или установить его расходимость

Предмет и раздел

Предмет: Математика (Высшая математика)
Раздел: Интегралы (несобственные интегралы)

Условие

Нам дан несобственный интеграл: \[ \int_{e}^{\infty} \frac{dx}{x (\ln^2 x + 1)} \]

Решение

Шаг 1: Исследуем поведение подынтегральной функции на бесконечности

Рассмотрим подынтегральную функцию: \[ f(x) = \frac{1}{x (\ln^2 x + 1)} \]
На бесконечности, \(\ln^2 x\) растет бесконечно, поэтому \(\ln^2 x + 1\) также растет бесконечно.

Шаг 2: Замена переменной

Введем новую переменную \( t = \ln x \), тогда \( dt = \frac{dx}{x} \).
Пределы интегрирования при этом изменятся: при \( x = e \) имеем \( t = 1 \), а при \( x \to \infty \) имеем \( t \to \infty \).
Теперь перепишем интеграл в новых переменных: \[ \int_{e}^{\infty} \frac{dx}{x (\ln^2 x + 1)} = \int_{1}^{\infty} \frac{dt}{t^2 + 1} \]

Шаг 3: Вычисление интеграла

Интеграл \( \int \frac{dt}{t^2 + 1} \) является известным и его первообразная равна \( \arctan t \): \[ \int_{1}^{\infty} \frac{dt}{t^2 + 1} = \left[ \arctan t \right]_{1}^{\infty} \]

Шаг 4: Вычисление значений первообразной на границах

\[ \left[ \arctan t \right]_{1}^{\infty} = \lim_{t \to \infty} \arctan t - \arctan 1 \]
Так как \( \arctan t \to \frac{\pi}{2} \) при \( t \to \infty \) и \( \arctan 1 = \frac{\pi}{4} \): \[ \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \]

Ответ

\[ \int_{e}^{\infty} \frac{dx}{x (\ln^2 x + 1)} = \frac{\pi}{4} \]
Интеграл сходится и его значение равно \( \frac{\pi}{4} \).