Вычислить интеграл или установить его расходимость

Условие:

вычислить интеграл или установить его расходимость

Условие: вычислить интеграл или установить его расходимость

Решение:

Предмет и раздел

Предмет: Математика (Высшая математика)
Раздел: Интегралы (несобственные интегралы)

Условие

Нам дан несобственный интеграл: \[edxx(ln2x+1)\]

Решение

Шаг 1: Исследуем поведение подынтегральной функции на бесконечности

Рассмотрим подынтегральную функцию: \[f(x)=1x(ln2x+1)\]
На бесконечности, \(ln2x\) растет бесконечно, поэтому \(ln2x+1\) также растет бесконечно.

Шаг 2: Замена переменной

Введем новую переменную \(t=lnx\), тогда \(dt=dxx\).
Пределы интегрирования при этом изменятся: при \(x=e\) имеем \(t=1\), а при \(x\) имеем \(t\).
Теперь перепишем интеграл в новых переменных: \[edxx(ln2x+1)=1dtt2+1\]

Шаг 3: Вычисление интеграла

Интеграл \(dtt2+1\) является известным и его первообразная равна \(arctant\): \[1dtt2+1=[arctant]1\]

Шаг 4: Вычисление значений первообразной на границах

\[[arctant]1=limtarctantarctan1\]
Так как \(arctantπ2\) при \(t\) и \(arctan1=π4\): \[π2π4=π4\]

Ответ

\[edxx(ln2x+1)=π4\]
Интеграл сходится и его значение равно \(π4\).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут