Условие:
вычислить интеграл (2х-y^2-2)dx+(-2xy+3y^2)dy вдоль прямой x+y=5 от точки 0;5 до точки 5;0
Решение:
Определение предмета и его раздела: Задание относится к разделу "Математика", а конкретнее к подразделу "Математический анализ". Конкретная тема — "Криволинейные интегралы".
Задание: Вычислить интеграл \( \int (2x - y^2 - 2) \, dx + (-2xy + 3y^2) \, dy \) вдоль прямой \( x + y = 5 \) от точки \( (0; 5) \) до точки \( (5; 0) \).
Шаг 1: Параметризация прямой
Прямая \( x + y = 5 \) можно параметризовать, введя параметр \( t \), который будет менять значения от 0 до 1. Соответственно, запишем \( x \) и \( y \) в зависимости от параметра \( t \):
- При \( t = 0 \): \( x = 0 \), \( y = 5 \).
- При \( t = 1 \): \( x = 5 \), \( y = 0 \).
Таким образом, параметризация прямая может быть задана как: \[ x(t) = 5t, \quad y(t) = 5(1 - t), \quad t \in [0, 1]. \]
Теперь найдём производные \( dx \) и \( dy \) по \( t \): \[ dx = \frac{dx}{dt} = 5 \, dt, \quad dy = \frac{dy}{dt} = -5 \, dt. \]
Шаг 2: Подстановка в интеграл
Теперь, подставив параметры \( x(t) = 5t \) и \( y(t) = 5(1 - t) \), а также выражения для \( dx \) и \( dy \), запишем выражение для интеграла:
\[ \int_{(0;5)}^{(5;0)} (2x - y^2 - 2) \, dx + (-2xy + 3y^2) \, dy. \]
Подставим параметризацию:
\[ = \int_0^1 \left[ (2 \cdot 5t - (5(1 - t))^2 - 2) \cdot 5 \, dt + (-2 \cdot 5t \cdot 5(1 - t) + 3(5(1 - t))^2) \cdot (-5) \, dt \right]. \]
Упрощаем каждую часть:
1. Упрощаем первую часть:
\[ 2x - y^2 - 2 = 2 \cdot 5t - (5(1 - t))^2 - 2 = 10t - 25(1 - t)^2 - 2. \]
Раскроем квадрат:
\[ (1 - t)^2 = 1 - 2t + t^2, \]
значит,
\[ 2x - y^2 - 2 = 10t - 25 + 50t - 25t^2 - 2 = 60t - 27 - 25t^2. \]
Теперь, всю эту часть умножаем на \( 5 \, dt \):
\[ [60t - 27 - 25t^2] \cdot 5 = 300t - 135 - 125t^2. \]
2. Упрощаем вторую часть:
\[ -2xy + 3y^2 = -2 \cdot 5t \cdot 5(1 - t) + 3(5(1 - t))^2 = -50t(1 - t) + 3 \cdot 25(1 - t)^2. \]
Упрощаем:
\[ = -50t + 50t^2 + 75(1 - 2t + t^2) = -50t + 50t^2 + 75 - 150t + 75t^2 = 125t^2 - 200t + 75. \]
Теперь умножаем на \( -5 \):
\[ [125t^2 - 200t + 75] \cdot (-5) = -625t^2 + 1000t - 375. \]
Шаг 3: Сводим в одно выражение
Соединяем обе части:
\[ \int_0^1 [300t - 135 - 125t^2] \, dt + \int_0^1 [-625t^2 + 1000t - 375] \, dt. \]
Объединяем интегралы:
\[ = \int_0^1 (300t - 135 - 125t^2 - 625t^2 + 1000t - 375) \, dt. \]
Упрощаем выражение под интегралом:
\[ 300t + 1000t = 1300t, \]
\[ -125t^2 - 625t^2 = -750t^2, \]
\[ -135 - 375 = -510. \]
Итак, получаем:
\[ \int_0^1 (1300t - 750t^2 - 510) \, dt. \]
Шаг 4: Вычисление интеграла
Выполним интегрирование по каждому слагаемому:
\[ \int_0^1 1300t \, dt = \left[ \frac{1300t^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1300}{2} = 650, \]
\[ \int_0^1 -750t^2 \, dt = \left[ -\frac{750t^3}{3} \right]_0^1 = -\frac{750}{3} = -250, \]
\[ \int_0^1 -510 \, dt = \left[ -510t \right]_0^1 = -510. \]
Теперь складываем результаты:
\[ 650 - 250 - 510 = -110. \]
Ответ: Интеграл вдоль заданной прямой равен \( \boxed{-110} \).