Вычислить интеграл (2х-y^2-2)dx+(-2xy+3y^2)dy вдоль прямой x+y=5 от точки 0;5 до точки 5;0

Определение предмета и его раздела: Задание относится к разделу "Математика", а конкретнее к подразделу "Математический анализ". Конкретная тема — "Криволинейные интегралы".

Задание: Вычислить интеграл $\text{(}\int (2x-y^2-2)dx+(-2xy+3y^2)dy\text{)}$ вдоль прямой $\text{(}x+y=5\text{)}$ от точки $\text{(}(0;5)\text{)}$ до точки $\text{(}(5;0)\text{)}$.

---

Шаг 1: Параметризация прямой

Прямая $\text{(}x+y=5\text{)}$ можно параметризовать, введя параметр $\text{(}t\text{)}$, который будет менять значения от 0 до 1. Соответственно, запишем $\text{(}x\text{)}$ и $\text{(}y\text{)}$ в зависимости от параметра $\text{(}t\text{)}$: - При $\text{(}t=0\text{)}$: $\text{(}x=0\text{)}$, $\text{(}y=5\text{)}$. - При $\text{(}t=1\text{)}$: $\text{(}x=5\text{)}$, $\text{(}y=0\text{)}$. Таким образом, параметризация прямая может быть задана как: $\text{[}x(t)=5t,y(t)=5(1-t),t\in [0,1].\text{]}$ Теперь найдём производные $\text{(}dx\text{)}$ и $\text{(}dy\text{)}$ по $\text{(}t\text{)}$: $\text{[}dx=\frac{dx}{dt}=5dt,dy=\frac{dy}{dt}=-5dt.\text{]}$

Шаг 2: Подстановка в интеграл

Теперь, подставив параметры $\text{(}x(t)=5t\text{)}$ и $\text{(}y(t)=5(1-t)\text{)}$, а также выражения для $\text{(}dx\text{)}$ и $\text{(}dy\text{)}$, запишем выражение для интеграла: $\text{[}{\int }_{(0;5)}^{(5;0)}(2x-y^2-2)dx+(-2xy+3y^2)dy.\text{]}$ Подставим параметризацию: $\text{[}={\int }_0^1[(2\cdot 5t-(5(1-t){)}^2-2)\cdot 5dt+(-2\cdot 5t\cdot 5(1-t)+3(5(1-t){)}^2)\cdot (-5)dt].\text{]}$ Упрощаем каждую часть: 1. Упрощаем первую часть: $\text{[}2x-y^2-2=2\cdot 5t-(5(1-t){)}^2-2=10t-25(1-t{)}^2-2.\text{]}$ Раскроем квадрат: $\text{[}(1-t{)}^2=1-2t+t^2,\text{]}$ значит, $\text{[}2x-y^2-2=10t-25+50t-25t^2-2=60t-27-25t^2.\text{]}$ Теперь, всю эту часть умножаем на $\text{(}5dt\text{)}$: $\text{[}[60t-27-25t^2]\cdot 5=300t-135-125t^2.\text{]}$ 2. Упрощаем вторую часть: $\text{[}-2xy+3y^2=-2\cdot 5t\cdot 5(1-t)+3(5(1-t){)}^2=-50t(1-t)+3\cdot 25(1-t{)}^2.\text{]}$ Упрощаем: $\text{[}=-50t+50t^2+75(1-2t+t^2)=-50t+50t^2+75-150t+75t^2=125t^2-200t+75.\text{]}$ Теперь умножаем на $\text{(}-5\text{)}$: $\text{[}[125t^2-200t+75]\cdot (-5)=-625t^2+1000t-375.\text{]}$

Шаг 3: Сводим в одно выражение

Соединяем обе части: $\text{[}{\int }_0^1[300t-135-125t^2]dt+{\int }_0^1[-625t^2+1000t-375]dt.\text{]}$ Объединяем интегралы: $\text{[}={\int }_0^1(300t-135-125t^2-625t^2+1000t-375)dt.\text{]}$ Упрощаем выражение под интегралом: $\text{[}300t+1000t=1300t,\text{]}$ $\text{[}-125t^2-625t^2=-750t^2,\text{]}$ $\text{[}-135-375=-510.\text{]}$ Итак, получаем: $\text{[}{\int }_0^1(1300t-750t^2-510)dt.\text{]}$

Шаг 4: Вычисление интеграла

Выполним интегрирование по каждому слагаемому: $\text{[}{\int }_0^{1}1300tdt={\left[\frac{1300t^2}{2}\right]}_0^1=\frac{1300}{2}=650,\text{]}$ $\text{[}{\int }_0^1-750t^{2}dt={[-\frac{750t^3}{3}]}_0^1=-\frac{750}{3}=-250,\text{]}$ $\text{[}{\int }_0^1-510dt={[-510t]}_0^1=-510.\text{]}$ Теперь складываем результаты: $\text{[}650-250-510=-110.\text{]}$

Ответ: Интеграл вдоль заданной прямой равен $\text{(}\boxed{{\displaystyle -110}}\text{)}$.