Вычислить или исследовать на сходимость несобственные интегралы

Это задание из математического анализа, раздел "Интегральное исчисление", подраздел "Несобственные интегралы".

Разбор интегралов:

Интеграл 1:

\[ \int\limits_{1}^{\infty} \frac{dx}{16x^4 - 1}. \]

1. Анализ разрывов: У данной функции потенциальная проблема может быть при \(16x^4 - 1 = 0 \Rightarrow x^4 = \frac{1}{16} \Rightarrow x = \frac{1}{2}\). Однако этот \(x\) находится вне заданного интервала интегрирования ([\boldsymbol{1}, \infty)), поэтому разрывов в пределах нашего интервала нет.
2. Оценка сходимости на бесконечности: Для анализа поведения функции при \(x \to \infty\), заметим, что \(16x^4 - 1 \sim 16x^4\): \[ \frac{1}{16x^4 - 1} \sim \frac{1}{16x^4}, \quad \text{поэтому } f(x) \sim \frac{1}{x^4}. \] Интеграл от \(1/x^4\) на \([1, \infty)\) сходится, так как \(\int\limits_{1}^{\infty} x^{-4} dx = \left[-\frac{1}{3x^3}\right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{3}\).
3. Решение интеграла: Выполним дробное разложение: \[ \frac{1}{16x^4 - 1} = \frac{1}{(4x^2 - 1)(4x^2 + 1)}, \] разложим на простые дроби: \[ \frac{1}{(4x^2 - 1)(4x^2 + 1)} = \frac{A}{4x^2 - 1} + \frac{B}{4x^2 + 1}. \] Решаем систему для \(A\) и \(B\), после чего вычисляем интегралы каждого слагаемого. Однако общий итог — интеграл сходится.

Интеграл 2:

\[ \int\limits_{0}^{\infty} \frac{x^3 dx}{\sqrt{16x^4 + 1}}. \]

1. Анализ разрывов: Функция определена на всём интервале \([0, \infty)\), разрывов нет.
2. Оценка сходимости на бесконечности: При \(x \to \infty\): \[ \sqrt{16x^4 + 1} \sim \sqrt{16x^4} = 4x^2, \, \text{поэтому } \frac{x^3}{\sqrt{16x^4 + 1}} \sim \frac{x^3}{4x^2} = \frac{x}{4}. \] Интеграл от \(\frac{x}{4}\) на \([K, \infty)\) расходится, следовательно, данный интеграл расходится.

Интеграл 3:

\[ \int\limits_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{16x^4 + 1}}. \]

1. Анализ разрывов: Функция определена на всём интервале \([0, \infty)\), разрывов нет.
2. Оценка сходимости на бесконечности: При \(x \to \infty\), как и ранее: \[ \sqrt{16x^4 + 1} \sim 4x^2, \, \text{поэтому } \frac{1}{\sqrt{16x^4 + 1}} \sim \frac{1}{4x^2}. \] Интеграл от \(1/x^2\) на \([1, \infty)\) сходится, а также на \([0, 1]\) не возникает проблем, так как функция ограничена на этом интервале.
3. Подведение итога: Интеграл сходится.

Ответы:

1. Интеграл (1) сходится.
2. Интеграл (2) расходится.
3. Интеграл (3) сходится.

Требуется вычислить или исследовать на сходимость несобственные интегралы.