Вычислить (и оценить) интеграл где область ограничена прямыми

Предмет: Математика (Раздел: Математический анализ, Многомерные интегралы)

Задание:

2. Вычислить (и оценить) интеграл \[ \iint_{D} (2x + y^2) \, dx \, dy, \] где область \( D \) ограничена прямыми \(x + y = 2\), \( y = x \), \( y = 0\), \( x = 0 \). Необходимо расставить пределы интегрирования по этой области в полярных координатах.

Решение:

1. Описание области интегрирования \( D \)

Давайте сначала найдем границы области \( D \), которая ограничена прямыми:

• \( x + y = 2 \) (прямая, проходящая через точки \( (0, 2) \) и \( (2, 0) \)),
• \( y = x \),
• \( y = 0 \) (ось Ox),
• \( x = 0 \) (ось Oy).

2. Вычисление интеграла

Интеграл можно вычислить как двойной интеграл в декартовых координатах. Для этого нужно правильно задать пределы интегрирования.

• Для \( x \) пределы интегрирования от 0 до 2.
• Для каждого фиксированного \( x \), переменная \( y \) изменяется от 0 до \( 2 - x \) (так как верхняя граница задается уравнением \( x + y = 2 \)).

3. Вычисление внутреннего интеграла по \( y \)

Теперь вычислим интеграл по \( y \), когда \( x \) фиксировано: \[ \int_{0}^{2-x} (2x + y^2) \, dy. \] Раскроем и вычислим каждый из слагаемых: \[ \int_{0}^{2-x} 2x \, dy = 2x \cdot (2 - x). \] \[ \int_{0}^{2-x} y^2 \, dy = \frac{(2-x)^3}{3}. \] Складываем эти результаты: \[ 2x(2 - x) + \frac{(2-x)^3}{3}. \]

4. Вычисление внешнего интеграла по \( x \)

Теперь нужно вычислить внешний интеграл: \[ \int_{0}^{2} \left(2x(2 - x) + \frac{(2-x)^3}{3}\right) \, dx. \] Посчитаем оба слагаемых по отдельности.

1. В первую очередь вычислим \( \int_{0}^{2} 2x(2 - x) \, dx \). \[ 2x(2 - x) = 4x - 2x^2, \] следовательно: \[ \int_{0}^{2} (4x - 2x^2) \, dx = \left[ 2x^2 - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 8 - \frac{16}{3} = \frac{24}{3} - \frac{16}{3} = \frac{8}{3}. \]
2. Теперь вычислим \( \int_0^2 \frac{(2 - x)^3}{3} \, dx \). Для этого сделаем замену \( u = 2 - x \), тогда \( du = -dx \), и пределы интегрирования меняются на \( u = 2 \) при \( x = 0 \) и \( u = 0 \) при \( x = 2 \): \[ \int_{0}^{2} \frac{(2 - x)^3}{3} \, dx = \frac{1}{3} \int_2^0 u^3 (-du) = \frac{1}{3} \int_0^2 u^3 \, du. \] Этот интеграл равен: \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{u^4}{4} \bigg|_0^2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{16}{4} = \frac{4}{3}. \]

5. Ответ

Теперь складываем найденные значения: \[ \frac{8}{3} + \frac{4}{3} = \frac{12}{3} = 4. \]

Окончательный ответ: \( 4 \).