Вычислить (и оценить) интеграл где область D ограничена прямыми

Данный лист является частью контроля по модулю "Кратные и криволинейные интегралы" по предмету высшей математики для студентов 2 курса. Второе задание, которое ты попросил разобрать, сформулировано следующим образом:

2. Вычислить (и оценить) интеграл

\[ \int \int_D \left( 2x + y^2 \right) dx\,dy, \] где область \( D \) ограничена прямыми \( y = x, x = 0, y = 1, y = 2 \). Также просят рассчитать пределы интегрирования для этой области в полярных координатах. Это задание относится к теме кратных интегралов и расчетов площади для областей на плоскости.

Шаг 1. Описание области \( D \)

Дана область \( D \), ограниченная прямыми:

• \( y = x \) — это прямая, проходящая под углом 45 градусов через начало координат.
• \( x = 0 \) — это ось \( y \) (вертикальная прямая).
• \( y = 1 \) и \( y = 2 \) — горизонтальные прямые.

Эти ограничения описывают область, которая находится между \( y = 1 \) и \( y = 2 \), при этом левая граница \( x = 0 \), а правая граница задается уравнением \( x = y \).

Шаг 2. Определение пределов интегрирования

Для вычисления интеграла, нужно сначала определить пределы интегрирования:

• Пределы для \( y \): из условия \( y = 1 \) и \( y = 2 \). То есть \( y \in [1, 2] \).
• Пределы для \( x \): при каждом фиксированном значении \( y \) координата \( x \) варьируется от 0 до \( y \), то есть \( x \in [0, y] \).

Теперь можно записать интеграл двойного интегрирования:

\[ \int_{y=1}^{2} \int_{x=0}^{y} \left( 2x + y^2 \right) dx \, dy. \]

Шаг 3. Вычисление внутреннего интеграла (по \( x \))

Теперь давайте вычислим внутренний интеграл по \( x \):

\[ \int_0^y \left( 2x + y^2 \right) dx. \]

Для этого используем стандартные правила интегрирования:

1. Интеграл \( \int 2x \, dx = x^2 \).
2. Интеграл \( \int y^2 \, dx = y^2x \), так как \( y^2 \) рассматривается как константа при интегрировании по \( x \).

Подставим пределы интегрирования \( x = 0 \) и \( x = y \):

\[ \left( x^2 \right)\bigg|_0^y + \left( y^2x \right)\bigg|_0^y = y^2 + y^3 = y^2 + y^3. \]

Шаг 4. Вычисление внешнего интеграла (по \( y \))

Теперь нужно вычислить внешний интеграл:

\[ \int_1^2 \left( y^2 + y^3 \right) dy. \]

Интегрируем по \( y \):

1. Интеграл \( \int y^2 \, dy = \frac{y^3}{3} \).
2. Интеграл \( \int y^3 \, dy = \frac{y^4}{4} \).

Теперь подставим пределы от \( 1 \) до \( 2 \):

\[ \frac{y^3}{3}\bigg|_1^2 + \frac{y^4}{4}\bigg|_1^2. \]

Для первого выражения:

\[ \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}. \]

Для второго выражения:

\[ \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}. \]

Теперь сложим полученные результаты:

\[ \frac{7}{3} + \frac{15}{4} = \frac{28}{12} + \frac{45}{12} = \frac{73}{12}. \]

Ответ: Значение двойного интеграла равно:

\[ \boxed{\frac{73}{12}}. \]