Вычислить двумя способами криволинейный интеграл

Предмет: Математика
Раздел: Криволинейные интегралы и теория поля

Рассмотрим задачу №4:
Необходимо вычислить двумя способами криволинейный интеграл:

\int\limits_C \left( x^2 - y \right) dx + 3xdy,

где контур C образован прямыми x + y = 1, x = 1 и кривой y = e^x, с обходом в положительном направлении.

Решение

1. Первый способ: Прямое вычисление криволинейного интеграла

Сначала определим координаты точек пересечения:

1. Прямая x + y = 1 и x = 1:
   Подставляем x = 1 в уравнение x + y = 1:
   1 + y = 1 \implies y = 0.
   Точка пересечения: (1, 0).

2. Прямая x + y = 1 и y = e^x:
   Подставляем y = e^x в x + y = 1:
   x + e^x = 1.
   Решение уравнения: x = 0, y = e^0 = 1.
   Точка пересечения: (0, 1).

Итак, контур C состоит из трех частей:

1. Участок C_1: Прямая x + y = 1 от (0, 1) до (1, 0).
2. Участок C_2: Прямая x = 1 от (1, 0) до (1, e^1 = e).
3. Участок C_3: Кривая y = e^x от (1, e) до (0, 1).

Теперь вычислим интеграл по каждой части отдельно.

Участок C_1: Прямая x + y = 1

Из уравнения x + y = 1 выражаем y:
y = 1 - x.

Дифференциал:
dy = -dx.

Подставляем в интеграл:
\int\limits_{C_1} \left( x^2 - y \right) dx + 3xdy = \int\limits_{0}^{1} \left( x^2 - (1 - x) \right) dx + \int\limits_{0}^{1} 3x(-dx).

Упрощаем:
\int\limits_{C_1} = \int\limits_{0}^{1} \left( x^2 - 1 + x \right) dx - \int\limits_{0}^{1} 3x dx = \int\limits_{0}^{1} \left( x^2 + x - 1 \right) dx - \int\limits_{0}^{1} 3x dx.

Вычисляем:
\int\limits_{0}^{1} \left( x^2 + x - 1 \right) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x \right]_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{6},

\int\limits_{0}^{1} 3x dx = \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{3}{2}.

Итак,
\int\limits_{C_1} = -\frac{1}{6} - \frac{3}{2} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}.

Участок C_2: Прямая x = 1

На этом участке x = 1 (константа), поэтому dx = 0.

Интеграл принимает вид:
\int\limits_{C_2} \left( x^2 - y \right) dx + 3xdy = \int\limits_{C_2} 3xdy = \int\limits_{0}^{e} 3(1)dy = \int\limits_{0}^{e} 3dy.

Вычисляем:
\int\limits_{C_2} = \left[ 3y \right]_0^e = 3e - 0 = 3e.

Участок C_3: Кривая y = e^x

На этом участке y = e^x, поэтому dy = e^x dx.

Интеграл:
\int\limits_{C_3} \left( x^2 - y \right) dx + 3xdy = \int\limits_{1}^{0} \left( x^2 - e^x \right) dx + \int\limits_{1}^{0} 3x e^x dx.

Меняем пределы интегрирования, чтобы избавиться от минуса:
\int\limits_{C_3} = -\int\limits_{0}^{1} \left( x^2 - e^x \right) dx - \int\limits_{0}^{1} 3x e^x dx.

Вычисляем первый интеграл:
\int\limits_{0}^{1} \left( x^2 - e^x \right) dx = \int\limits_{0}^{1} x^2 dx - \int\limits_{0}^{1} e^x dx.

\int\limits_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3},
\int\limits_{0}^{1} e^x dx = \left[ e^x \right]_0^1 = e - 1.

Итак,
\int\limits_{0}^{1} \left( x^2 - e^x \right) dx = \frac{1}{3} - (e - 1) = \frac{1}{3} - e + 1 = \frac{4}{3} - e.

Вычисляем второй интеграл:
\int\limits_{0}^{1} 3x e^x dx.
Это делается методом интеграции по частям:
u = 3x, \, dv = e^x dx \implies du = 3dx, \, v = e^x.

\int 3x e^x dx = 3x e^x - \int 3e^x dx = 3x e^x - 3e^x.

Подставляем пределы:
\int\limits_{0}^{1} 3x e^x dx = \left[ 3x e^x - 3e^x \right]_0^1 = \left( 3 \cdot 1 \cdot e^1 - 3e^1 \right) - \left( 3 \cdot 0 \cdot e^0 - 3e^0 \right),
\int\limits_{0}^{1} 3x e^x dx = 3e - 3e + 0 - (-3) = 3.

Итак,
\int\limits_{C_3} = -\left( \frac{4}{3} - e \right) - 3 = -\frac{4}{3} + e - 3 = e - \frac{13}{3}.

Суммируем результаты по всем участкам:
\int\limits_{C} = \int\limits_{C_1} + \int\limits_{C_2} + \int\limits_{C_3} = -\frac{5}{3} + 3e + \left( e - \frac{13}{3} \right).

\int\limits_{C} = 4e - 6.

2. Второй способ: Теорема Грина

По теореме Грина:
\int\limits_C P dx + Q dy = \iint\limits_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA,

где P(x, y) = x^2 - y, Q(x, y) = 3x.

Вычисляем частные производные:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial (3x)}{\partial x} = 3,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (x^2 - y)}{\partial y} = -1.

\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 3 - (-1) = 4.

Область D ограничена:

1. x + y = 1 (прямая),
2. x = 1 (вертикальная прямая),
3. y = e^x (кривая).

Вычисляем двойной интеграл:
\iint\limits_D 4 \, dA = 4 \cdot \text{площадь области } D.

Площадь области D находится как разность между площадью под прямой x + y = 1 и площадью под кривой y = e^x.

1. Площадь под прямой:
   \int\limits_{0}^{1} (1 - x) dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

2. Площадь под кривой:
   \int\limits_{0}^{1} e^x dx = \left[ e^x \right]_0^1 = e - 1.

Итак,
\text{Площадь области } D = \frac{1}{2} - (e - 1) = \frac{3}{2} - e.

Двойной интеграл:
\iint\limits_D 4 \, dA = 4 \cdot \left( \frac{3}{2} - e \right) = 6 - 4e.

Ответ:
\int\limits_C \left( x^2 - y \right) dx + 3xdy = 4e - 6.