Вычислить двойной интеграл по области D,ограниченной линиями

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (кратные интегралы)

Решение

Дан двойной интеграл:

 \iint\limits_{D} \sin \sqrt{x^2 + y^2} \, dx \, dy 

Область интегрирования D ограничена окружностями:
x^2 + y^2 = \pi^2 и x^2 + y^2 = 4\pi^2.

Преобразуем интеграл в полярные координаты:
 x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta. 

Тогда исходный интеграл принимает вид:

 \iint\limits_{D} \sin \sqrt{x^2 + y^2} \, dx \, dy = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_{\pi}^{2\pi} \sin r \cdot r \, dr \, d\theta. 

Рассмотрим внутренний интеграл:

 I = \int\limits_{\pi}^{2\pi} r \sin r \, dr. 

Решаем его по частям, положив:
 u = r, \quad dv = \sin r \, dr. 

Тогда:
 du = dr, \quad v = -\cos r. 

Применяем метод интегрирования по частям:

 I = -r \cos r \Big|_{\pi}^{2\pi} + \int\limits_{\pi}^{2\pi} \cos r \, dr. 

Вычисляем второй интеграл:

 \int\limits_{\pi}^{2\pi} \cos r \, dr = \sin r \Big|_{\pi}^{2\pi} = \sin (2\pi) - \sin (\pi) = 0 - 0 = 0. 

Теперь подставляем границы в первый член:

 I = - (2\pi \cos 2\pi - \pi \cos \pi). 

Так как \cos 2\pi = 1 и \cos \pi = -1, получаем:

 I = - (2\pi \cdot 1 - \pi \cdot (-1)) = - (2\pi + \pi) = -3\pi. 

Теперь вычисляем внешний интеграл:

 \int\limits_0^{2\pi} (-3\pi) \, d\theta = -3\pi \cdot 2\pi = -6\pi^2. 

Ответ

 -6\pi^2.