Вычислить двойной интеграл от функции f(x, y) = y - x по области D, ограниченной линиями

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — кратные интегралы (двойной интеграл)

Задание:
Вычислить двойной интеграл от функции f(x, y) = y - x по области D, ограниченной линиями y = x и y = x^2.

Шаг 1: Определим область интегрирования

Нам даны две кривые:

• y = x — прямая
• y = x^2 — парабола

Найдем точки пересечения этих графиков:

Приравниваем:
x = x^2
x^2 - x = 0
x(x - 1) = 0

Следовательно, x = 0 и x = 1

На интервале x \in [0, 1], парабола y = x^2 лежит ниже прямой y = x. Значит, область D — это область между этими двумя кривыми от x = 0 до x = 1.

Шаг 2: Запишем двойной интеграл

Интегрируем по области D, где y изменяется от y = x^2 до y = x при x \in [0, 1]:

 \iint\limits_D (y - x) \, dA = \int_{x=0}^{1} \int_{y=x^2}^{x} (y - x) \, dy \, dx 

Шаг 3: Вычислим внутренний интеграл

Внутренний интеграл по y:

 \int_{y=x^2}^{x} (y - x) \, dy 

Промежуточный результат:

 \int_{y=x^2}^{x} (y - x) \, dy = \left[ \frac{(y - x)^2}{2} \right]_{y = x^2}^{x} 

Подставим пределы:

• При y = x: \frac{(x - x)^2}{2} = 0
• При y = x^2: \frac{(x^2 - x)^2}{2}

Значит:

 \int_{y=x^2}^{x} (y - x) \, dy = 0 - \frac{(x^2 - x)^2}{2} = -\frac{(x^2 - x)^2}{2} 

Шаг 4: Вычислим внешний интеграл

Теперь интегрируем по x от 0 до 1:

 \int_{x=0}^{1} \left( -\frac{(x^2 - x)^2}{2} \right) dx = -\frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x^2 - x)^2 \, dx 

Раскроем квадрат:

 (x^2 - x)^2 = x^4 - 2x^3 + x^2 

Теперь интеграл:

 -\frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx = -\frac{1}{2} \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 

Посчитаем:

 \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6 - 15 + 10}{30} = \frac{1}{30} 

Теперь умножаем на -\frac{1}{2}:

 -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{30} = -\frac{1}{60} 

Ответ:

 \iint\limits_D (y - x) \, dA = -\frac{1}{60} 

✅ Ответ: -1/60