Вычислить двойной интеграл и изменить порядок интегрирования

```html

Предмет: Математика

Раздел предмета: Математический анализ, многомерные интегралы

Задание: Вычислить двойной интеграл и изменить порядок интегрирования.

Данный интеграл: \[ \iint_D xy \, dx \, dy \] с областью \( D: y \leq e^x, \, y \geq 0, \, x \geq 0, \, x \leq 1 \).

1. Определите область интегрирования:

Область D задается следующими неравенствами:

• \( y \leq e^x \)
• \( y \geq 0 \)
• \( x \geq 0 \)
• \( x \leq 1 \)

Так как \( y \leq e^x \) и \( x \) ограничено от 0 до 1, область интегрирования задается следующими пределами:

• \( x \) изменяется от 0 до 1.
• \( y \) изменяется от 0 до \( e^x \).

С этим определением области интегрирования двойной интеграл записывается как: \[ \iint_D xy \, dx \, dy = \int_0^1 \int_0^{e^x} xy \, dy \, dx \]

2. Решите интеграл:

Сначала вычислим внутренний интеграл \( \int_0^{e^x} xy \, dy \):

Напоминание: \( x \) здесь константа с точки зрения внутреннего интеграла.

Интегрируем по \( y \):

\[ \int_0^{e^x} xy \, dy = x \int_0^{e^x} y \, dy \]

Теперь найдем интеграл по \( y \):

\[ \int_0^{e^x} y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{e^x} = \frac{(e^x)^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{e^{2x}}{2} \]

Подставляем это выражение назад в наш интеграл:

\[ \int_0^{1} x \cdot \frac{e^{2x}}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{1} x e^{2x} \, dx \]

Для вычисления этого интеграла используем метод интегрирования по частям. Обозначим:

\[ u = x \quad \text{и} \quad dv = e^{2x} \, dx \]

Тогда:

\[ du = dx \quad \text{и} \quad v = \frac{e^{2x}}{2} \]

Интеграл по частям:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

Применим это к нашему интегралу:

\[ \int_0^{1} x e^{2x} \, dx = \left. x \cdot \frac{e^{2x}}{2} \right|_0^{1} - \int_0^{1} \frac{e^{2x}}{2} \, dx \]

Первый член:

\[ \left. x \cdot \frac{e^{2x}}{2} \right|_0^{1} = \left(1 \cdot \frac{e^{2}}{2}\right) - \left(0 \cdot \frac{e^{0}}{2}\right) = \frac{e^2}{2} \]

Второй член:

\[ \int_0^{1} \frac{e^{2x}}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{1} e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} \left. \frac{e^{2x}}{2} \right|_0^{1} = \frac{1}{2} \left(\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{0}}{2}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{e^2 - 1}{4} \]

Таким образом, \[ \int_0^{1} x e^{2x} \, dx = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{2e^2 - (e^2 - 1)}{4} = \frac{2e^2 - e^2 + 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4} \]

Подставим это обратно в интеграл:

\[ \frac{1}{2} \int_0^{1} x e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^2 + 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{8}. \]

Таким образом, значение двойного интеграла: \[ \iint_D xy \, dx \, dy = \frac{e^2 + 1}{8} \]

3. Изменим порядок интегрирования:

Теперь изменим порядок интегрирования. Для этого проанализируем область \( D \). Область D ограничена:

• снизу: \( y = 0 \).
• сверху: \( y = e^x \).
• слева: \( x = 0 \).
• справа: \( x = 1 \).

Теперь выразим \( x \) через \( y \). Из уравнения \( y = e^x \) получаем \( x = \ln(y) \). То есть, диапазон изменения \( x \) будет от \( 0 \) до \( \ln y \).

\[ y \in [0, e^1] = [0, e]. \]

\[ x \in [0, \ln y]. \]

Изменим порядок интегрирования в интеграле:

\[ \iint_D xy \, dx \, dy = \int_0^e \int_0^{\ln y} xy \, dx \, dy \]

Решим интеграл в новом порядке. Внутренний интеграл:

\[ \int_0^{\ln y} xy \, dx \]

Здесь \( y \) - это константа с точки зрения внутреннего интеграла. Интегрируем по \( x \):

\[ \int_0^{\ln y} xy \, dx = y \int_0^{\ln y} x \, dx \]

Теперь решим этот интеграл:

\[ \int_0^{\ln y} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\ln y} = \frac{(\ln y)^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{(\ln y)^2}{2} \]

Подставляем обратно:

\[ \int_0^e y \left( \frac{(\ln y)^2}{2} \right) \, dy = \frac{1}{2} \int_0^e y (\ln y)^2 \, dy \]

Для вычисления этого интеграла используем замену:

\[ t = \ln y \rightarrow dy = e^t dt \rightarrow y = e^t \]

В нашем случае: \( \int_0^\infty t^2 e^t e^t dt \rightarrow \int_0^\infty t^2 e^{2t} dt \). Или \[ \int y (\ln y)^2 dy = t^2 e^t dt \]

\[ \int_0^e t^2 e^t = \frac{1}{2} \frac{(y \ln y)^2}{2}\]

\[ \iint_D xy \, dx \, dy = \frac{e^2 + 1}/{8} \]

```