Вычислить двойной интеграл функции

Это задание связано с математическим анализом, конкретнее – с множественными интегралами. Нам необходимо вычислить двойной интеграл функции \(e^{x+y}\) по области \(D: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\).

Задание:

\[\iint\limits_{D} e^{x+y} \, dx \, dy,\] где область \(D\) задана условиями: \[0 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq 1.\]

Шаг 1: Разделение переменных

Функция \(e^{x+y}\) может быть представлена как произведение функций: \[e^{x+y} = e^x \cdot e^y.\] Мы можем вычислять интегралы по \(x\) и \(y\) независимо, из-за того, что область интегрирования прямоугольная и функция разложима.

Шаг 2: Вычисление интеграла

Теперь можно записать двойной интеграл как повторный: \[\iint\limits_{D} e^{x+y} \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} e^{x+y} \, dx \right) dy.\] Интеграл по переменной \(x\): \[\int_{0}^{1} e^{x+y} \, dx = \int_{0}^{1} e^x e^y \, dx = e^y \int_{0}^{1} e^x \, dx.\] Теперь вычислим интеграл: \[\int_{0}^{1} e^x \, dx = e^x \Big|_0^1 = e - 1.\] Значит, первый интеграл равен: \[e^y (e - 1).\]

Шаг 3: Вычисление второго интеграла

Теперь интегрируем результат по \(y\): \[\int_{0}^{1} e^y (e - 1) \, dy = (e - 1) \int_{0}^{1} e^y \, dy.\] Вычислим интеграл по \(y\): \[\int_{0}^{1} e^y \, dy = e^y \Big|_0^1 = e - 1.\] Итак, второй интеграл равен: \[(e-1)(e-1) = (e-1)^2.\]

Ответ:

Двойной интеграл равен: \[(e-1)^2.\]