Вычислить длины дуг кривых x=10cos^3t y=10sin^3t 0<=t<=Pi/2

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Вычисление длины кривой в параметрической форме

Задание:

Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

x = 10 \cos^3 t
y = 10 \sin^3 t
на интервале 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}

Шаг 1: Формула длины дуги параметрически заданной кривой

Если кривая задана параметрически:
x = x(t), \quad y = y(t), \quad t \in [a, b],
то длина дуги вычисляется по формуле:

 L = \int_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, dt 

Шаг 2: Найдём производные \frac{dx}{dt} и \frac{dy}{dt}

Дано:
x(t) = 10 \cos^3 t = 10 (\cos t)^3
y(t) = 10 \sin^3 t = 10 (\sin t)^3

Используем правило производной сложной функции:

 \frac{dx}{dt} = 10 \cdot 3 \cos^2 t \cdot (-\sin t) = -30 \cos^2 t \sin t 

 \frac{dy}{dt} = 10 \cdot 3 \sin^2 t \cdot \cos t = 30 \sin^2 t \cos t 

Шаг 3: Подставим в формулу длины дуги

 L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{(-30 \cos^2 t \sin t)^2 + (30 \sin^2 t \cos t)^2} \, dt 

Вычислим подкоренное выражение:

 (-30 \cos^2 t \sin t)^2 = 900 \cos^4 t \sin^2 t 
 (30 \sin^2 t \cos t)^2 = 900 \sin^4 t \cos^2 t 

Суммируем:

 900 \cos^4 t \sin^2 t + 900 \sin^4 t \cos^2 t = 900 \cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t) 

Поскольку \cos^2 t + \sin^2 t = 1, получаем:

 \sqrt{900 \cos^2 t \sin^2 t} = 30 \sin t \cos t 

Шаг 4: Интеграл

 L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 30 \sin t \cos t \, dt 

Воспользуемся формулой:

 \sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin(2t) 

Тогда:

 L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 30 \cdot \frac{1}{2} \sin(2t) \, dt = 15 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2t) \, dt 

Вычислим интеграл:

 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2t) \, dt = -\frac{1}{2} \cos(2t) \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2}[\cos(\pi) - \cos(0)] = -\frac{1}{2}[-1 - 1] = 1 

Ответ:

 L = 15 \cdot 1 = 15 

Длина дуги кривой на отрезке [0, \frac{\pi}{2}] равна 15 единиц.