Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру, являющемуся пересечением поверхностей

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика (раздел: Векторный анализ, Теорема о циркуляции (формула Кельвина), Теорема Стокса). Нам нужно найти циркуляцию векторного поля \( \mathbf{a} = y\mathbf{i} - x\mathbf{j} + z\mathbf{k} \) по контуру, который формируется пересечением двух поверхностей:

1. \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \) — сфера радиуса 1;
2. \( x = z \) — плоскость.

Пояснение:

Циркуляция векторного поля по заданному замкнутому контуру можно вычислить двумя способами:

1. Вычисление непосредственно через определение циркуляции: \[ \oint_{\partial S} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} \] где \( d\mathbf{r} \) — элемент контура.
2. Использование теоремы Стокса: \[ \oint_{\partial S} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \int_S (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot d\mathbf{S} \] где \( \nabla \times \mathbf{a} \) — ротор (вихрь) поля, а \( d\mathbf{S} \) — элемент площади вектора поверхности \( S \), ограниченной контуром \( \partial S \).

Мы воспользуемся теоремой Стокса, так как это гораздо удобнее для вычисления циркуляции по поверхности, заданной в виде пересечения.

Шаг 1: Определение границы (контура)

Пересечение сферы \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \) и плоскости \( x = z \) — это окружность, лежащая на сфере и на плоскости \( x = z \). Если \( x = z \), то уравнение сферы примет вид: \[ x^2 + y^2 + x^2 = 1, \] то есть: \[ 2x^2 + y^2 = 1. \] Это уравнение окружности радиуса \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) в плоскости \( x = z \). Таким образом, заданный контур — это окружность в этой плоскости.

Шаг 2: Вычисление ротора векторного поля

Ротор векторного поля \( \mathbf{a} = y\mathbf{i} - x\mathbf{j} + z\mathbf{k} \) вычисляется по стандартной формуле: \[ \nabla \times \mathbf{a} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y & -x & z \end{vmatrix} \]

Вычисляем определитель: \[ \nabla \times \mathbf{a} = \mathbf{i} \left( \frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial (-x)}{\partial z} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial z} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\partial (-x)}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial y} \right) \]

• Для \( \mathbf{i} \)-компоненты: \[ \frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial (-x)}{\partial z} = 0 - (-1) = 1. \]
• Для \( \mathbf{j} \)-компоненты: \[ \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial z} = 0 - 0 = 0. \]
• Для \( \mathbf{k} \)-компоненты: \[ \frac{\partial (-x)}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial y} = -1 - 1 = -2. \]

Итого, получаем ротор: \[ \nabla \times \mathbf{a} = \mathbf{i} - 2\mathbf{k}. \]

Шаг 3: Выбор поверхности и нормального вектора

Поверхность \( x = z \) имеет нормаль в направлении вдоль вектора \( \mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\mathbf{i} - \mathbf{k}) \) (это единичный нормальный вектор к плоскости \( x = z \)). Элемент площади \( d\mathbf{S} \) можно записать как \( dS \cdot \mathbf{n} \), где \( dS \) — площадь элемента поверхности.

Шаг 4: Вычисление циркуляции с использованием теоремы Стокса

По теореме Стокса: \[ \oint_{\partial S} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \int_S (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot d\mathbf{S}. \] Произведение \( (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} \): \[ (\mathbf{i} - 2\mathbf{k}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (\mathbf{i} - \mathbf{k}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) = \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + 2) = \frac{3}{\sqrt{2}}. \]

Теперь вычислим интеграл по площади. Площадь окружности радиуса \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) равна: \[ S = \pi \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{\pi}{2}. \] Следовательно, циркуляция: \[ \oint_{\partial S} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{3\pi\sqrt{2}}{4}. \]

Ответ:

Циркуляция векторного поля \( \mathbf{a} = y\mathbf{i} - x\mathbf{j} + z\mathbf{k} \) по контуру является: \[ \frac{3\pi\sqrt{2}}{4}. \]

Вычисления по каждой компоненте: