Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру, который является пересечением поверхностей в первом октанте

Предмет: Математика (векторное исчисление)

Раздел: Теорема Стокса, циркуляция векторного поля

Задание: Вычислить циркуляцию векторного поля \(\mathbf{a} = \left(\frac{x^3}{3} + 2y - 1\right) \mathbf{i} + 4x z^2 \mathbf{j} + (2x - 3yx - 5z) \mathbf{k}\) по контуру, который является пересечением поверхностей \(y^2 + z^2 = 1\) и \(x=3\), \(y=0\), \(z=0\) в первом октанте.

Шаг 1: Определение циркуляции

Циркуляция векторного поля \(\mathbf{a}\) по заданному контуру может быть вычислена с использованием теоремы Стокса. Теорема Стокса гласит, что циркуляция векторного поля по замкнутому контуру \(C\) равна потоку роторного поля через поверхность \(S\), ограниченную этим контуром:

\[ \oint_C \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \int_S (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot d\mathbf{S} \]

Где:

• \(C\) — контур,
• \(\mathbf{a}\) — векторное поле,
• \(d\mathbf{r}\) — элементарный вектор вдоль контура,
• \(\nabla \times \mathbf{a}\) — ротор векторного поля,
• \(d\mathbf{S}\) — элементарный вектор площади поверхности \(S\).

Шаг 2: Формулировка контура и поверхности

Контур \(C\) — это пересечение двух поверхностей:

• \(y^2 + z^2 = 1\) (поверхность цилиндрической формы, которая задает круг радиуса 1 в плоскости YZ),
• \(x=3\) (плоскость \(x=3\), определяющая фиксированную координату для \(x\)).

Данный контур представляет собой окружность радиуса 1 в плоскости \(yz\)-проекции при фиксированной координате \(x=3\), находящуюся в первой четверти \(YZ\)-плоскости (в первом октанте).

Шаг 3: Вычисление ротора векторного поля

Чтобы использовать теорему Стокса, необходимо найти ротор векторного поля \(\mathbf{a}\). Для векторного поля \(\mathbf{a} = \left(\frac{x^3}{3} + 2y - 1\right)\mathbf{i} + 4xz^2 \mathbf{j} + (2x - 3yx - 5z) \mathbf{k}\), ротор считается так:

\[ \nabla \times \mathbf{a} = \text{det} \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{x^3}{3} + 2y - 1 & 4xz^2 & 2x - 3yx - 5z \end{vmatrix} \]

Считаем ротор:

1. Компонента по \(\mathbf{i}\) (вдоль \(x\)): \[ \left( \frac{\partial}{\partial y} (2x - 3yx - 5z) - \frac{\partial}{\partial z} (4xz^2) \right) = (-3x) - (8xz) = -3x - 8xz \]
2. Компонента по \(\mathbf{j}\) (вдоль \(y\)): \[ \left( \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{x^3}{3} + 2y - 1 \right) - \frac{\partial}{\partial x} (2x - 3yx - 5z) \right) = (0) - (2 - 3y) = -2 + 3y \]
3. Компонента по \(\mathbf{k}\) (вдоль \(z\)): \[ \left( \frac{\partial}{\partial x} (4xz^2) - \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x^3}{3} + 2y - 1 \right) \right) = (4z^2) - 2 = 4z^2 - 2 \]

Таким образом, ротор векторного поля:

\[ \nabla \times \mathbf{a} = (-3x - 8xz) \mathbf{i} + (-2 + 3y) \mathbf{j} + (4z^2 - 2) \mathbf{k} \]

Шаг 4: Вычисление потока ротора

Теперь нужно вычислить поток ротора через поверхность \(S\). Поскольку поверхность \(S\) — это круг радиуса 1 в плоскости \(yz\) при фиксированном \(x=3\), нормаль к поверхности направлена вдоль оси \(x\) (то есть по \(\mathbf{i}\)). Площадь элемента на этой окружности в плоскости \(yz\) дается величиной \(dS = dy dz \mathbf{i}\), так как нормаль к поверхности вдоль \(\mathbf{i}\).

Проекция ротора на ось \(x\) равна \(-3x - 8xz\). При \(x=3\) получаем:

\[ \text{Компонента по \(\mathbf{i}\)} = -3(3) - 8(3)z = -9 - 24z = -9(1 + \frac{8}{9} z) \]

\[ \int_S (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot d\mathbf{S} \]

Необходимо теперь интегрировать эти выражения по кругу радиуса 1 в \(yz\)-плоскости, с уравнением окружности \(y^2 + z^2 = 1\) в первом октанте (для \(y \geq 0\), \(z \geq 0\)). Будем использовать параметры \(y=\cos\theta\), \(z=\sin\theta\) для координат в плоскости окружности. Интеграл по кругу можно выразить: