Вычисли площадь S криволинейной трапеции ограниченной графиком функции прямыми

Задание относится к предмету математика, а конкретно к его разделу интегральное исчисление. Мы имеем выражение, определяющее площадь криволинейной трапеции.

Анализ задачи:

Задано, что кривая представляется функцией $\text{(}f(x)=x^2\text{)}$, и область, ограниченная графиком функции, прямыми $\text{(}y=0\text{)}$, $\text{(}x=3\text{)}$ и $\text{(}x=5\text{)}$, является искомой криволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции можно найти, вычислив определённый интеграл функции $\text{(}f(x)\text{)}$ на отрезке $\text{(}[3,5]\text{)}$. Это выражение описывает площадь под кривой, поскольку функция непрерывна и не принимает отрицательных значений на данном интервале.

Формула площади:

$\text{[}S={\int }_3^{5}f(x)dx={\int }_3^5{x}^{2}dx\text{]}$

Шаги решения:

1. Применим правило интегрирования для функции $\text{(}{x}^2\text{)}$:

$\text{[}\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\text{]}$

Для функции $\text{(}{x}^2\text{)}$, $\text{(}n=2\text{)}$, следовательно:

$\text{[}\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C\text{]}$

2. Подставляем пределы интегрирования $\text{(}[3,5]\text{)}$:

$\text{[}S={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_3^5\text{]}$

3. Вычисляем значения в пределах $\text{(}x=5\text{)}$ и $\text{(}x=3\text{)}$:

$\text{[}S=\frac{5^3}{3}-\frac{3^3}{3}\text{]}$

Сначала вычислим кубы:

$\text{[}{5}^3=125,3^3=27\text{]}$

4. Подставляем в формулу:

$\text{[}S=\frac{125}{3}-\frac{27}{3}=\frac{125-27}{3}=\frac{98}{3}\text{]}$

5. Финальный ответ:

$\text{[}S=\frac{98}{3}\approx 32.67\text{(единиц площади)}\text{]}$

Ответ:

Площадь криволинейной трапеции равна $\text{(}\frac{98}{3}\text{)}$ или приблизительно $\text{(}32.67\text{)}$ единиц площади.