Вычисли площадь S криволинейной трапеции ограниченной графиком функции прямыми

Задание относится к предмету математика, а конкретно к его разделу интегральное исчисление. Мы имеем выражение, определяющее площадь криволинейной трапеции.

Анализ задачи:

Задано, что кривая представляется функцией \( f(x) = x^2 \), и область, ограниченная графиком функции, прямыми \( y = 0 \), \( x = 3 \) и \( x = 5 \), является искомой криволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции можно найти, вычислив определённый интеграл функции \( f(x) \) на отрезке \( [3, 5] \). Это выражение описывает площадь под кривой, поскольку функция непрерывна и не принимает отрицательных значений на данном интервале.

Формула площади:

\[ S = \int_{3}^{5} f(x) \, dx = \int_{3}^{5} x^2 \, dx \]

Шаги решения:

1. Применим правило интегрирования для функции \( x^2 \):

\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

Для функции \( x^2 \), \( n = 2 \), следовательно:

\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]

2. Подставляем пределы интегрирования \( [3, 5] \):

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{3}^{5} \]

3. Вычисляем значения в пределах \( x = 5 \) и \( x = 3 \):

\[ S = \frac{5^3}{3} - \frac{3^3}{3} \]

Сначала вычислим кубы:

\[ 5^3 = 125, \quad 3^3 = 27 \]

4. Подставляем в формулу:

\[ S = \frac{125}{3} - \frac{27}{3} = \frac{125 - 27}{3} = \frac{98}{3} \]

5. Финальный ответ:

\[ S = \frac{98}{3} \approx 32.67 \, \text{(единиц площади)} \]

Ответ:

Площадь криволинейной трапеции равна \( \frac{98}{3} \) или приблизительно \( 32.67 \) единиц площади.