Вычисли площадь фигуры, ограниченной линиями

Определение предмета

Задание относится к предмету математика, конкретно к разделу интегральное исчисление (времена соответствуют расчету площади под кривой с использованием определенного интеграла).

Разбор задания

Нам нужно найти площадь фигуры, которая ограничена следующими линиями:

• \(y = 3 + \sin x\),
• \(y = 0\) (ось абсцисс),
• \(x = \frac{3\pi}{2}\) и \(x = 2\pi\) (вертикальные границы).

Это означает, что нас интересует площадь под графиком функции \(f(x) = 3 + \sin x\) на отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]\).

Шаг 1: Представление площади через интеграл

Площадь, заключенная между графиком функции и осью \(x\), можно вычислить как определенный интеграл:

\[ S = \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} (3 + \sin x) \, dx \]

Шаг 2: Вычисление интеграла

Разобьем интеграл на две части:

\[ S = \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} 3 \, dx + \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \sin x \, dx \]

1. Интеграл от константы 3:

\[ \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} 3 \, dx = 3 \left( x \right) \Bigg|_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} = 3 \left( 2\pi - \frac{3\pi}{2} \right) = 3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} \]

2. Интеграл от функции \(\sin x\):

Известно, что:

\[ \int \sin x \, dx = -\cos x \]

Тогда:

\[ \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \sin x \, dx = -\cos x \Bigg|_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \]

\[ = -\left( \cos 2\pi - \cos \frac{3\pi}{2} \right) = -\left( 1 - 0 \right) = -1 \]

Шаг 3: Подведение итогов

Теперь сложим результаты интегрирования:

\[ S = \frac{3\pi}{2} + (-1) \]

\[ S = \frac{3\pi}{2} - 1 \]

Таким образом, площадь фигуры равна:

\[ S = \frac{3\pi}{2} - 1 \]

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной линиями \(y=3+\sin x\), \(y=0\), \(x=\frac{3\pi}{2}\), и \(x=2\pi\), равна \( \frac{3\pi}{2} - 1 \).