Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми

Этот пример относится к разделу "Интегральное исчисление" из курса "Математика".

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми \(y = 12 - x^2\) и \(y = 0\), нужно найти площадь области, расположенной между этими двумя кривыми.

1. Найдём точки пересечения кривых: Для этого решим уравнение \(12 - x^2 = 0\):

\[ 12 = x^2 \implies x^2 = 12 \implies x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3} \]

Следовательно, точки пересечения - это \(x = -2\sqrt{3}\) и \(x = 2\sqrt{3}\).

2. Установим пределы интегрирования: Пределы интегрирования будут от \(-2\sqrt{3}\) до \(2\sqrt{3}\).
3. Запишем интеграл для вычисления площади: Площадь области между кривыми \(y = 12 - x^2\) и \(y = 0\) вычисляется по формуле:

\[ \text{Площадь} = \int_{a}^{b} (верхняя~кривая - нижняя~кривая) \, dx \]

В данном случае верхняя кривая - это \(12 - x^2\), а нижняя - это \(y = 0\), поэтому интеграл принимает вид:

\[ \text{Площадь} = \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} (12 - x^2) \, dx \]

4. Вычислим интеграл: Разделим интеграл на два простых:

\[ \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} 12 \, dx - \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} x^2 \, dx \]

1. Вычислим первый интеграл:

\[ \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} 12 \, dx = 12 \left[ x \right]_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} = 12 \left( 2\sqrt{3} - (-2\sqrt{3}) \right) = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \]

2. Вычислим второй интеграл:

\[ \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3})^3}{3} - \frac{(-2\sqrt{3})^3}{3} = \frac{8 \cdot 3\sqrt{3}}{3} - \frac{-8 \cdot 3\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \]

5. Посчитаем разность интегралов:

\[ 48\sqrt{3} - 16\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = 12 - x^2\) и \(y = 0\), равна \(32\sqrt{3}\).