Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми

Этот пример относится к разделу "Интегральное исчисление" из курса "Математика".

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми $\text{(}y=12-x^2\text{)}$ и $\text{(}y=0\text{)}$, нужно найти площадь области, расположенной между этими двумя кривыми.

1. Найдём точки пересечения кривых: Для этого решим уравнение $\text{(}12-x^2=0\text{)}$:

$\text{[}12=x^2⟹x^2=12⟹x=\pm \sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}\text{]}$

Следовательно, точки пересечения - это $\text{(}x=-2\sqrt{3}\text{)}$ и $\text{(}x=2\sqrt{3}\text{)}$.

2. Установим пределы интегрирования: Пределы интегрирования будут от $\text{(}-2\sqrt{3}\text{)}$ до $\text{(}2\sqrt{3}\text{)}$.
3. Запишем интеграл для вычисления площади: Площадь области между кривыми $\text{(}y=12-x^2\text{)}$ и $\text{(}y=0\text{)}$ вычисляется по формуле:

$\text{[}\text{Площадь}={\int }_a^b(верхняякривая-нижняякривая)dx\text{]}$

В данном случае верхняя кривая - это $\text{(}12-x^2\text{)}$, а нижняя - это $\text{(}y=0\text{)}$, поэтому интеграл принимает вид:

$\text{[}\text{Площадь}={\int }_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}(12-x^2)dx\text{]}$

4. Вычислим интеграл: Разделим интеграл на два простых:

$\text{[}{\int }_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}12dx-{\int }_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}{x}^{2}dx\text{]}$

1. Вычислим первый интеграл:

$\text{[}{\int }_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}12dx=12{\left[x\right]}_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}=12(2\sqrt{3}-(-2\sqrt{3}))=12\cdot 4\sqrt{3}=48\sqrt{3}\text{]}$

2. Вычислим второй интеграл:

$\text{[}{\int }_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}=\frac{(2\sqrt{3}{)}^3}{3}-\frac{(-2\sqrt{3}{)}^3}{3}=\frac{8\cdot 3\sqrt{3}}{3}-\frac{-8\cdot 3\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}+8\sqrt{3}=16\sqrt{3}\text{]}$

5. Посчитаем разность интегралов:

$\text{[}48\sqrt{3}-16\sqrt{3}=32\sqrt{3}\text{]}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями $\text{(}y=12-x^2\text{)}$ и $\text{(}y=0\text{)}$, равна $\text{(}32\sqrt{3}\text{)}$.