Вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Определённые интегралы

Задано вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

 \int_{1}^{2} \left( x^3 + \frac{1}{x^2} \right) dx 

Шаг 1: Найдём первообразную функции

Рассмотрим подынтегральную функцию:

 f(x) = x^3 + \frac{1}{x^2} 

Найдём первообразную:

• Первообразная от x^3: \int x^3 dx = \frac{x^4}{4}

• Первообразная от \frac{1}{x^2} = x^{-2}: \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}

Следовательно, первообразная всей функции:

 F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{x} 

Шаг 2: Применим формулу Ньютона-Лейбница

 \int_{1}^{2} \left( x^3 + \frac{1}{x^2} \right) dx = F(2) - F(1) 

Вычислим:

• F(2) = \frac{2^4}{4} - \frac{1}{2} = \frac{16}{4} - \frac{1}{2} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}
• F(1) = \frac{1^4}{4} - \frac{1}{1} = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}

Теперь:

 F(2) - F(1) = \frac{7}{2} - \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{7}{2} + \frac{3}{4} = \frac{14}{4} + \frac{3}{4} = \frac{17}{4} 

Ответ:

 \int_{1}^{2} \left( x^3 + \frac{1}{x^2} \right) dx = \frac{17}{4}