Вычисление определенных интегралов

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление (вычисление определенных интегралов)

Рассмотрим решение каждого интеграла по отдельности.

Задача (a):

Вычислить интеграл:
\int\limits_0^3 \sqrt{x} + 1 \,dx

Разделим интеграл на два:
\int\limits_0^3 \sqrt{x} \,dx + \int\limits_0^3 1 \,dx

Первый интеграл:
\int \sqrt{x} \,dx = \int x^{1/2} \,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2}

Второй интеграл:
\int 1 \,dx = x

Подставляем пределы:
\left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^3 + \left[ x \right]_0^3

Вычисляем:
\frac{2}{3} \cdot 3^{3/2} + 3 = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} + 3 = 2\sqrt{3} + 3

Ответ: 2\sqrt{3} + 3

Задача (б):

Вычислить интеграл:
\int\limits_1^4 \frac{dx}{x + \sqrt{x}}

Введем замену:
t = \sqrt{x}, \quad x = t^2, \quad dx = 2t \,dt

Тогда знаменатель преобразуется:
x + \sqrt{x} = t^2 + t

Перепишем интеграл:
\int\limits_1^2 \frac{2t \,dt}{t^2 + t}

Разделим дробь:
\frac{2t}{t^2 + t} = \frac{2t}{t(t+1)} = \frac{2}{t+1}

Таким образом,
\int\limits_1^2 \frac{2}{t+1} \,dt = 2 \ln |t+1| \Big|_1^2

Подставляем пределы:
2 \ln 3 - 2 \ln 2 = 2 \ln \frac{3}{2}

Ответ: 2 \ln \frac{3}{2}

Задача (в):

Вычислить интеграл:
\int\limits_0^1 x e^{-x} \,dx

Рассмотрим интегрирование по частям:
Пусть u = x, тогда du = dx.
Пусть dv = e^{-x}dx, тогда v = -e^{-x}.

Применяем формулу интегрирования по частям:
\int u \,dv = uv - \int v \,du

Подставляем:
x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})dx

-x e^{-x} + \int e^{-x}dx

-x e^{-x} - e^{-x}

Вычисляем на отрезке [0,1]:
\left[ -x e^{-x} - e^{-x} \right]_0^1

Подставляем границы:
\left(-1 \cdot e^{-1} - e^{-1} \right) - \left(-0 \cdot e^{0} - e^{0} \right)

\left(-e^{-1} - e^{-1} \right) - (-1)

-2e^{-1} + 1

Ответ: 1 - \frac{2}{e}