Вычисление определенного интеграла методом прямоугольников (методом Римана)

Данный пример относится к предмету "Математический анализ", раздел "Численные методы интегрирования"

Нарисованное задание требует вычисления определенного интеграла методом прямоугольников (методом Римана) при n = 4 и n = 6. Функция интегрирования: \[ \int_{1.5}^{2.3} \frac{\sqrt{0.3x + 1.2}}{1.6x + \sqrt{x^2 + 0.5}} \, dx \]

Метод прямоугольников делит область интегрирования на равные отрезки и вычисляет сумму площадей прямоугольников, которые приближенно представляют площадь под кривой.

1. Разбиение промежутка [1.5, 2.3] при n = 4: Длина деления \( h = \frac{(2.3 - 1.5)}{4} = 0.2 \). Промежутки разбиения: \[ [1.5, 1.7], [1.7, 1.9], [1.9, 2.1], [2.1, 2.3] \] В каждой из этих точек вычисляется значение функции в середине интервала (метод центральных прямоугольников): \[ x_1 = 1.6, \, x_2 = 1.8, \, x_3 = 2.0, \, x_4 = 2.2 \]
2. Выдержим промежуточные значения для интегранда: \[ f(x_1), \, f(x_2), \, f(x_3), \, f(x_4) \]
3. Метод прямоугольников: \[ \int_{1.5}^{2.3} \frac{\sqrt{0.3x + 1.2}}{1.6x + \sqrt{x^2 + 0.5}} \, dx \approx h \left( f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) \right) \]

Аналогичные действия производятся для n = 6:

Длина деления \( h = \frac{(2.3 - 1.5)}{6} = 0.1333 \). Промежутки разбиения: \[ [1.5, 1.6333], [1.6333, 1.7666], [1.7666, 1.9], [1.9, 2.0333], [2.0333, 2.1666], [2.1666, 2.3] \] Промежуточные значения функций: \[ x_1 = 1.5666, \, x_2 = 1.7, \, x_3 = 1.8333, \, x_4 = 1.9666, \, x_5 = 2.1, \, x_6 = 2.2333 \]

4. Метод прямоугольников: \[ \int_{1.5}^{2.3} \frac{\sqrt{0.3x + 1.2}}{1.6x + \sqrt{x^2 + 0.5}} \, dx \approx h \left( f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) + f(x_5) + f(x_6) \right) \]
5. Подстановка чисел и вычисления: Проведем численные подстановки для каждого заданного \( x_i \), вычислим значения функций, суммируем и домножим на величину шага \( h \). Конкретные численные результаты зависят от подстановки значений в функцию и вычислений, которые можете сделать с использованием калькулятора или программы (например, Excel, MATLAB и др.).