Вычисление кратных интегралов путем преобразования в полярную систему координат

Задание связано с математическим анализом, а именно с вычислением кратного интеграла с преобразованием в полярные координаты.

Условия задачи:

Нужно вычислить двойной интеграл от функции \( (x^2 + y^2) \) по области \( D \), которая определяется уравнением \( x^2 + y^2 = 2xy \).

Шаг 1: Преобразование области интегрирования

Дано уравнение области в декартовых координатах \( x^2 + y^2 = 2xy \). Попробуем упростить его выражение:

\[ x^2 + y^2 - 2xy = 0. \]

Эту запись можно представить как:

\[ (x - y)^2 = 0, \]

то есть \( x = y \). Следовательно, область \( D \) представляет собой прямую \( x = y \).

Шаг 2: Переход в полярные координаты

Для перехода в полярные координаты воспользуемся стандартными соотношениями между декартовой и полярной системами:

\[ x = r \cos{\theta}, \quad y = r \sin{\theta}, \]

где \( r \) — радиус в полярной системе координат, а \( \theta \) — полярный угол.

Шаг 3: Выражение функции под интегралом в полярных координатах

Мы интегрируем функцию \( x^2 + y^2 \). В полярных координатах:

\[ x^2 + y^2 = r^2. \]

Теперь запишем дифференциал площади \( dA = dx\,dy \) в полярных координатах. Он равен:

\[ dA = r \, dr \, d\theta. \]

Шаг 4: Пределы интегрирования

Теперь нужно определить пределы интегрирования. Мы работаем с линией \( x = y \), которая в полярных координатах соответствует углу \( \theta = \frac{\pi}{4} \). Исходя из этого, область интегрирования можно описать следующими пределами:

• \( r \) меняется от 0 до некоторого значения \( R \), которое задается условиями задачи (зависит от формы области, но так как область определяется кривой линии, то она является бесконечно растущей),
• \( \theta \) не имеет точных границ, но, зная, что мы находимся вдоль линии \( x = y \), можно интегрировать по \( \theta \) в области вокруг \( \theta = \frac{\pi}{4} \).

Шаг 5: Итоговый интеграл

Теперь нам нужно вычислить интеграл в полярных координатах:

\[ \iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int \int r^2 \cdot r \, dr \, d\theta. \]

Так как точные пределы интегрирования не заданы (в полных границах), считаем задачу недоопределенной, и для дальнейшего решения необходимо уточнить границы либо по \( r \), либо по \( \theta \).