Вычисление кратного интеграла по области D

Перед нами задание по математике, а именно — пример на вычисление кратного интеграла по области \( D \). Это задача из раздела математического анализа, посвящённого вычислению двойных интегралов. Дано задание вычислить следующий двойной интеграл:

\[ I = \iint\limits_{D} x \sin(x + y) \, dx \, dy, \] где область \( D \) задана условиями:

\[ 0 \leq x \leq \pi, \quad 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}. \]

Шаг 1: Вычисление интеграла

Начнём интегрировать по переменной \( x \) при фиксированном \( y \). Интеграция по \( x \):

\[ \int_0^\pi x \sin(x + y) \, dx. \]

Для решения этого интеграла используем метод интегрирования по частям. Пусть:

\[ u = x, \quad dv = \sin(x + y) \, dx. \]

Тогда:

\[ du = dx, \quad v = -\cos(x + y). \]

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du. \]

Подставляем:

\[ \int_0^\pi x \sin(x + y) \, dx = \left[-x \cos(x + y)\right]_0^\pi + \int_0^\pi \cos(x + y) \, dx. \]

Первое слагаемое:

\[ \left[-x \cos(x + y)\right]_0^\pi = -\pi \cos(\pi + y) + 0 \cdot \cos(y) = -\pi \cos(\pi + y). \]

Так как \(\cos(\pi + y) = -\cos(y)\), получаем:

\[ -\pi \cos(\pi + y) = \pi \cos(y). \]

Теперь найдём интеграл:

\[ \int_0^\pi \cos(x + y) \, dx. \]

Возьмём первообразную:

\[ \int_0^\pi \cos(x + y) \, dx = \left[\sin(x + y)\right]_0^\pi = \sin(\pi + y) - \sin(y). \]

Так как \(\sin(\pi + y) = -\sin(y)\), то:

\[ \int_0^\pi \cos(x + y) \, dx = -\sin(y) - \sin(y) = -2 \sin(y). \]

Теперь соберём результат:

\[ \int_0^\pi x \sin(x + y) \, dx = \pi \cos(y) - 2 \sin(y). \]

Шаг 2: Интегрирование по \( y \)

Теперь подставим результат в исходный двойной интеграл и вычислим оставшийся интеграл по \( y \):

\[ I = \int_0^\frac{\pi}{2} \left(\pi \cos(y) - 2 \sin(y)\right) \, dy. \]

Разделим этот интеграл на два:

\[ I = \pi \int_0^\frac{\pi}{2} \cos(y) \, dy - 2 \int_0^\frac{\pi}{2} \sin(y) \, dy. \]

Первообразная от \( \cos(y) \) — это \( \sin(y) \), а первообразная от \( \sin(y) \) — это \( -\cos(y) \), поэтому:

\[ I = \pi \left[\sin(y)\right]_0^\frac{\pi}{2} - 2 \left[-\cos(y)\right]_0^\frac{\pi}{2}. \]

Теперь подставим пределы интегрирования:

Для первого интеграла:

\[ \left[\sin(y)\right]_0^\frac{\pi}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1. \]

Для второго интеграла:

\[ \left[-\cos(y)\right]_0^\frac{\pi}{2} = -\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \cos(0)\right) = -(0 - 1) = 1. \]

Итак:

\( I = \pi \cdot 1 - 2 \cdot 1 = \pi - 2. \)

Ответ: \( I = \pi - 2 \).