Вычисление интеграла методом Симпсона и оценкой погрешности с помощью формулы Рунге для различных значений числа разбиений

Предмет: Математика

Раздел: Численное интегрирование функций

Задание связано с вычислением интеграла методом Симпсона и оценкой погрешности с помощью формулы Рунге для различных значений числа разбиений \(n\).

Формулировка:

Требуется вычислить численное значение следующего интеграла:

\[ \int_0^1 \frac{1}{1 + x} \, dx \]

Используя формулу Симпсона, при этом рассматриваются два случая с количеством интервалов:

• \(n = 12\)
• \(n = 6\)

Также необходимо вычислить погрешность по формуле Рунге и записать результаты:

• Значение интеграла при \(n = 12\)
• Погрешность в формате \(x \cdot 10^{-6}\)

1. Формула Симпсона

Формула Симпсона для численного интегрирования имеет следующий вид:

\[ I \approx \frac{h}{3} \left( f(x_0) + 4 f(x_1) + 2 f(x_2) + \dots + 4 f(x_{n-1}) + f(x_n) \right) \]

где \( h = \frac{b - a}{n} \) — шаг сетки, а \( f(x) \) — рассматриваемая функция.

Для нашего случая:

• \( f(x) = \frac{1}{1 + x} \)
• \( a = 0 \)
• \( b = 1 \)
• \( n \) — количество интервалов (будет равно 12 или 6).

2. Шаг 1: Вычисление интеграла для \(n = 12\)

• Шаг сетки: \[ h = \frac{1 - 0}{12} = \frac{1}{12} \]
• Значения узлов \(x_i\): \[ x_0 = 0, x_1 = \frac{1}{12}, x_2 = \frac{2}{12}, \dots, x_{12} = 1 \]
• Вычисляем значения функции \(f(x) = \frac{1}{1 + x}\) в узлах:

\[ f(0) = \frac{1}{1 + 0} = 1 \]
\[ f\left(\frac{1}{12}\right) = \frac{1}{1 + \frac{1}{12}} = \frac{12}{13} \approx 0.92308 \]
\[ f\left(\frac{2}{12}\right) = \frac{1}{1 + \frac{2}{12}} = \frac{6}{7} \approx 0.85714 \]
\[ \vdots \]
\[ f(1) = \frac{1}{1 + 1} = 0.5 \]

Значения \(f(x)\) на остальных точках можно найти аналогично.

Теперь применим формулу Симпсона:

\[ I \approx \frac{h}{3} \left( f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \dots + 4f(x_{11}) + f(x_{12}) \right) \]

Подставляем \(f(x_i)\) и вычисляем.

3. Шаг 2: Вычисление интеграла для \(n = 6\)

Аналогично вычисляем интеграл при \(n = 6\):

\[ h = \frac{1 - 0}{6} = \frac{1}{6} \]

И используем ту же самую формулу Симпсона с новыми значениями узлов \(x_0, x_1, \dots, x_6\).

4. Шаг 3: Оценка погрешности по Рунге

Формула Рунге для оценки погрешности имеет вид:

\[ \text{Ошибка} \approx \frac{I_{n} - I_{n/2}}{15} \]

Где \(I_n\) — значение интеграла для большего числа разбиений (\(n = 12\)), а \(I_{n/2}\) — значение интеграла для меньшего числа разбиений (\(n = 6\)).

5. Ввод ответа

Необходимо ввести результат в правильном формате:

• Сначала значение интеграла \(I_{12}\), с тремя значащими цифрами.
• Затем через запятую — погрешность в формате \(x \cdot 10^{-6}\), где \(x\) — число, также с тремя значащими цифрами.

Вводимое выражение должно быть вида:

значение интеграла, погрешность

Продолжим расчеты, подставляя значения и завершая вычисления для точного ответа.