Вычисление двойных интегралов

Задание относится к предмету "Математика", разделу "Интегральное исчисление" и, более конкретно, к вычислению двойных интегралов.

Условие задачи:

Вычислить двойной интеграл от функции \( f(x, y) = y + x \) по области \( D \), заданной условиями:

\[ x = 0, \]

\[ y = 0, \]

\[ y = 2, \]

\[ x + 2y - 6 = 0. \]

Решение:

1. Анализ области интегрирования \( D \):

• \( x = 0 \): вертикальная прямая на оси \( y \).
• \( y = 0 \): горизонтальная прямая на оси \( x \).
• \( y = 2 \): горизонтальная прямая на оси \( x \) при \( y = 2 \).
• \( x + 2y - 6 = 0 \) или \( x = 6 - 2y \): прямая, пересекающая ось \( x \) при \( y = 0 \) в точке \( x = 6 \), и ось \( y \) в точке \( y = 3 \). Однако область ограничена ещё одной прямой \( y = 2 \), поэтому находим пересечение \( x = 6 - 2y \) и \( y = 2 \):

  \[ x = 6 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2. \]

  Из вышеуказанных ограничений следует, что область интегрирования \( D \) имеет границы для \( y \) от 0 до 2, и для \( x \) - от 0 до \( 6 - 2y \).

  2. Установим пределы интегрирования:

  • По \( y \): от 0 до 2.
  • По \( x \): от 0 до \( 6 - 2y \).

  3. Запись двойного интеграла:

  \[ \int_{y=0}^{2} \int_{x=0}^{6-2y} (y + x) \, dx \, dy \]

  4. Решение внутреннего интеграла по \( x \):

  \[ \int_{0}^{6-2y} (y + x) \, dx \]

  Интегрируем по переменной \( x \):

  \[ \int_{0}^{6-2y} y \, dx + \int_{0}^{6-2y} x \, dx \]

  Поскольку \( y \) не зависит от \( x \):

  \[ y \int_{0}^{6-2y} dx + \int_{0}^{6-2y} x \, dx = y \cdot [ x ]_{0}^{6-2y} + [ \frac{x^2}{2} ]_{0}^{6-2y} \]

  Подставляем пределы интегрирования:

  \[ y (6-2y) + \frac{(6-2y)^2}{2} \]

  Теперь упростим:

  \[ y (6 - 2y) + \frac{(6 - 2y)^2}{2} = 6y - 2y^2 + 18 - 12y + 2y^2 \]

  Суммируем:

  \[ (6y - 12y) + (18) = -6y + 18 \]

  5. Решение внешнего интеграла по \( y \):

  \[ \int_{0}^{2} (-6y + 18) \, dy \]

  Интегрируем по переменной \( y \):

  \[ \int_{0}^{2} (-6y) \, dy + \int_{0}^{2} 18 \, dy = -6 \cdot \frac{y^2}{2} \Big|_{0}^{2} + 18y \Big|_{0}^{2} \]

  Вычисляем:

  \[ -3y^2 \Big|_{0}^{2} + 18y \Big|_{0}^{2} = -3 \cdot 4 + 18 \cdot 2 - (0 + 0) = -12 + 36 = 24 \]

  Таким образом, значение указанного интеграла:

  \[ \boxed{24} \]