Вычисление двойного интеграла и его преобразование в полярную систему координат

Задание относится к предмету "Высшая математика", разделу "Многомерные интегралы" и "Интегрирование в полярных координатах". Основная задача — вычисление двойного интеграла и его преобразование в полярную систему координат.

Разбор задачи:

1. Дано: Задано вычислить двойной интеграл: \[ \iint\limits_{D} (x^2 + 2y) dxdy, \] где область \(D\) ограничена прямыми: \[ y = x,\quad x = 0,\quad y = 1. \] Надо также рассмотреть преобразование этой области в полярные координаты и пересчитать пределы интегрирования.
2. Геометрическое описание области \(D\): Для начала, необходимо описать область интегрирования \(D\). У нас следующие границы:
   • \( y = x \) — это прямая, проходящая под углом 45 градусов к осям.
   • \( x = 0 \) — это ось \(OY\).
   • \( y = 1 \) — это прямая, параллельная оси \(OX\) и проходящая на уровне \(y = 1\).
   Таким образом, область \(D\) — это треугольник, ограниченный осями \(x = 0\) и линиями \(y = x\) и \(y = 1\).
3. Пределы интегрирования в декартовых координатах: Рассмотрим двойной интеграл в декартовой системе координат. Для переменной \(x\): \(x\) изменяется от 0 до 1 (так как в точке линии \(y = x\), \(y = 1\)). Для переменной \(y\): \(y\) изменяется от линии \(y = x\) до \(y = 1\). Таким образом, пределы интегрирования можно записать как: \[ \int\limits_0^1 \int\limits_x^1 (x^2 + 2y) dy dx. \]
4. Вычисление интеграла: Для начала возьмем интеграл по переменной \(y\): \[ \int_x^1 (x^2 + 2y) dy = \int_x^1 x^2 dy + \int_x^1 2y dy. \] Первая часть: \[ \int_x^1 x^2 dy = x^2 \cdot y \Bigg|_x^1 = x^2(1 - x) = x^2 - x^3. \] Вторая часть: \[ \int_x^1 2y dy = 2 \cdot \frac{y^2}{2} \Bigg|_x^1 = y^2 \Bigg|_x^1 = 1 - x^2. \] Теперь объединим результат: \[ \int_x^1 (x^2 + 2y) dy = x^2 - x^3 + 1 - x^2 = 1 - x^2. \] Теперь нужно проинтегрировать это выражение по \(x\) от 0 до 1: \[ \int_0^1 (1 - x^3) dx. \] Разобьем интеграл на две части: \[ \int_0^1 1 dx + \int_0^1 -x^3 dx. \] Первая часть: \[ \int_0^1 1 dx = 1 \cdot x \Bigg|_0^1 = 1. \] Вторая часть: \[ \int_0^1 -x^3 dx = -\frac{x^4}{4} \Bigg|_0^1 = -\frac{1}{4}. \] Теперь сложим обе части: \[ 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}. \] Это значение интеграла в декартовой системе координат.
5. Интеграл в полярных координатах: Переведем область и функцию в полярные координаты. Напомним, что преобразования из декартовой системы в полярную таковы: \[ x = r \cos \theta,\quad y = r \sin \theta,\quad dxdy = r drd\theta. \] В полярных координатах области, ограниченные прямыми \(y = x\) (то есть \(\theta = \frac{\pi}{4}\)) и \(y = 1\) (соответственно \(r = 1\)) будут иметь следующие пределы: - Угол \(\theta\) изменяется от 0 до \(\frac{\pi}{4}\), - радиус \(r\) изменяется от 0 до 1. Таким образом, пределы для полярных координат выглядят следующим образом: \[ 0 \le r \le 1,\quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}. \] Теперь подставим \(x\) и \(y\) в полярные координаты в исходное выражение. Функция \(x^2 + 2y\) в полярных координатах примет вид: \[ x^2 + 2y = r^2 \cos^2 \theta + 2r \sin \theta. \] Полярный интеграл теперь имеет вид: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^1 \left( r^2 \cos^2 \theta + 2r \sin \theta \right) r dr d\theta. \] Этот интеграл можно решить по аналогии с предыдущими шагами, сначала интегрируя по \(r\), затем по \(\theta\).

Ответ:

Результат вычисления двойного интеграла в декартовых координатах — \(\frac{3}{4}\).