Вычисление длины кривой с использованием определенного интеграла

Определение предмета и раздела:

Это математическое задание связано с вычислением длины кривой с использованием определенного интеграла. Оно относится к предмету математический анализ, а более конкретно — к разделу, связанному с интегралами и кривыми в аналитической геометрии.

Задание:

Необходимо найти длину отрезка кривой, представленной уравнением прямой \( L: y = \frac{x}{2} - 2 \), между двумя точками \( A(0, -2) \) и \( B(4, 0) \). Интеграл, который нужно решить, — это интеграл длины по дуге.

Формула длины дуги:

Длина кривой от точки \( A \) до точки \( B \) может быть найдена с использованием следующей общей формулы для длины дуги функции \( y = f(x) \):

\[ ds = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx \]

Где:

• \( f(x) = y = \frac{x}{2} - 2 \)
• \( \frac{dy}{dx} \) — это производная \( f(x) \) по \( x \).

Решение:

1. Найдем производную функции \( y = \frac{x}{2} - 2 \):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} - 2 \right) = \frac{1}{2} \]

2. Подставим производную в формулу для дифференциала дуги:

\[ ds = \sqrt{1 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} dx = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} dx = \sqrt{\frac{5}{4}} dx = \frac{\sqrt{5}}{2} dx \]

3. Теперь можно записать интеграл длины дуги между точками \( A(0, -2) \) и \( B(4, 0) \):

\[ L = \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{5}}{2} dx \]

4. Вынесем константу за знак интеграла и решим интеграл:

\[ L = \frac{\sqrt{5}}{2} \int_{0}^{4} dx = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \left[ x \right]_0^4 = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot (4 - 0) = 2\sqrt{5} \]

Ответ:

Длина отрезка прямой между точками \( A(0, -2) \) и \( B(4, 0) \) равна \( 2\sqrt{5} \).