Восстановите по полному дифференциалу функцию U(x,y)

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Восстановление функции ( U(x, y) ) по полному дифференциалу

Дан полный дифференциал функции:

dU = \left(-\frac{2y^2}{x^3} - 2y\sin 2x\right) dx + \left(\frac{2y}{x^2} + \cos 2x + y\right) dy.

Для восстановления функции ( U(x, y) ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Проверка на точность дифференциала

Для того чтобы ( dU ) был полным дифференциалом, должны выполняться условия кросс-производных: \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}, где:

• ( M(x, y) = -\frac{2y^2}{x^3} - 2y\sin 2x ) — коэффициент при ( dx ),
• ( N(x, y) = \frac{2y}{x^2} + \cos 2x + y ) — коэффициент при ( dy ).

Вычислим частные производные:

1. \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(-\frac{2y^2}{x^3} - 2y\sin 2x \right) = -\frac{4y}{x^3} - 2\sin 2x.
2. \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{2y}{x^2} + \cos 2x + y \right) = -\frac{4y}{x^3} - 2\sin 2x.

Так как \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}, дифференциал ( dU ) является полным.

2. Восстановление функции ( U(x, y) )

Для восстановления функции ( U(x, y) ), мы поочередно интегрируем ( M(x, y) ) и ( N(x, y) ).

Интегрируем ( M(x, y) ) по ( x ):

 U(x, y) = \int \left(-\frac{2y^2}{x^3} - 2y\sin 2x\right) dx. 

Разделим интеграл на два слагаемых:  U(x, y) = \int -\frac{2y^2}{x^3} dx - \int 2y\sin 2x dx. 

1. Интеграл от первого слагаемого:  \int -\frac{2y^2}{x^3} dx = -\frac{y^2}{x^2}. 

2. Интеграл от второго слагаемого:  \int -2y\sin 2x dx = y \cos 2x. 

Таким образом:  U(x, y) = -\frac{y^2}{x^2} + y\cos 2x + C(y),  где ( C(y) ) — произвольная функция от ( y ), которая может зависеть только от ( y ).

Найдем ( C(y) ), используя ( N(x, y) ):

Для этого вычислим \frac{\partial U}{\partial y} и приравняем к ( N(x, y) ):  \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(-\frac{y^2}{x^2} + y\cos 2x + C(y)\right) = -\frac{2y}{x^2} + \cos 2x + C'(y). 

Приравниваем к ( N(x, y) ):  -\frac{2y}{x^2} + \cos 2x + C'(y) = \frac{2y}{x^2} + \cos 2x + y. 

Упростим:  C'(y) = y. 

Интегрируем ( C'(y) ):  C(y) = \frac{y^2}{2}. 

3. Общий вид функции ( U(x, y) ):

Подставляем ( C(y) ) в ( U(x, y) ):  U(x, y) = -\frac{y^2}{x^2} + y\cos 2x + \frac{y^2}{2}. 

Ответ:

 U(x, y) = -\frac{y^2}{x^2} + y\cos 2x + \frac{y^2}{2}.