Восстановите по полному дифференциалу функцию U(x,y)

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Восстановление функции ( U(x, y) ) по полному дифференциалу

Дан полный дифференциал функции:

$dU=(-\frac{2y^2}{x^3}-2y\sin 2x)dx+(\frac{2y}{x^2}+\cos 2x+y)dy.$

Для восстановления функции ( U(x, y) ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Проверка на точность дифференциала

Для того чтобы ( dU ) был полным дифференциалом, должны выполняться условия кросс-производных: $\frac{\mathrm{\partial }M}{\mathrm{\partial }y}=\frac{\mathrm{\partial }N}{\mathrm{\partial }x},$ где:

• ( M(x, y) = -\frac{2y^2}{x^3} - 2y\sin 2x ) — коэффициент при ( dx ),
• ( N(x, y) = \frac{2y}{x^2} + \cos 2x + y ) — коэффициент при ( dy ).

Вычислим частные производные:

1. $\frac{\mathrm{\partial }M}{\mathrm{\partial }y}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(-\frac{2y^2}{x^3}-2y\sin 2x)=-\frac{4y}{x^3}-2\sin 2x.$
2. $\frac{\mathrm{\partial }N}{\mathrm{\partial }x}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(\frac{2y}{x^2}+\cos 2x+y)=-\frac{4y}{x^3}-2\sin 2x.$

Так как $\frac{\mathrm{\partial }M}{\mathrm{\partial }y}=\frac{\mathrm{\partial }N}{\mathrm{\partial }x},$ дифференциал ( dU ) является полным.

2. Восстановление функции ( U(x, y) )

Для восстановления функции ( U(x, y) ), мы поочередно интегрируем ( M(x, y) ) и ( N(x, y) ).

Интегрируем ( M(x, y) ) по ( x ):

$U(x,y)=\int (-\frac{2y^2}{x^3}-2y\sin 2x)dx.$

Разделим интеграл на два слагаемых: $U(x,y)=\int -\frac{2y^2}{x^3}dx-\int 2y\sin 2xdx.$

1. Интеграл от первого слагаемого: $\int -\frac{2y^2}{x^3}dx=-\frac{y^2}{x^2}.$

2. Интеграл от второго слагаемого: $\int -2y\sin 2xdx=y\cos 2x.$

Таким образом: $U(x,y)=-\frac{y^2}{x^2}+y\cos 2x+C(y),$ где ( C(y) ) — произвольная функция от ( y ), которая может зависеть только от ( y ).

Найдем ( C(y) ), используя ( N(x, y) ):

Для этого вычислим $\frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }y}$ и приравняем к ( N(x, y) ): $\frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }y}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(-\frac{y^2}{x^2}+y\cos 2x+C(y))=-\frac{2y}{x^2}+\cos 2x+C^{\prime }(y).$

Приравниваем к ( N(x, y) ): $-\frac{2y}{x^2}+\cos 2x+C^{\prime }(y)=\frac{2y}{x^2}+\cos 2x+y.$

Упростим: $C^{\prime }(y)=y.$

Интегрируем ( C'(y) ): $C(y)=\frac{y^2}{2}.$

3. Общий вид функции ( U(x, y) ):

Подставляем ( C(y) ) в ( U(x, y) ): $U(x,y)=-\frac{y^2}{x^2}+y\cos 2x+\frac{y^2}{2}.$

Ответ:

$U(x,y)=-\frac{y^2}{x^2}+y\cos 2x+\frac{y^2}{2}.$