В каких точках на границе ряд сходится, а в каких расходится

Это задание по математике, а точнее по теории рядов. Нам нужно определить, в каких точках границы ряд сходится, а в каких точках расходится. Рассмотрим данный ряд:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{4^n n} \]

Анализ Ряда:

Чтобы выяснить, где данный ряд сходится, определим радиус сходимости с использованием признака Д'Аламбера.

1. Оценка радиуса сходимости:

Признак Д'Аламбера (или тест соотношений):

\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \]

Наши коэффициенты (члены ряда):

\[ a_n = \frac{(x-1)^n}{4^n n} \]

Тогда

\[ a_{n+1} = \frac{(x-1)^{n+1}}{4^{n+1} (n+1)} = \frac{(x-1)^{n+1}}{4^n \cdot 4 (n+1)} = \frac{(x-1) \cdot (x-1)^n}{4 \cdot 4^n (n+1)} = \frac{(x-1) \cdot (x-1)^n}{4^{n+1} (n+1)} \]

Теперь найдем отношение:

\[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{\frac{(x-1) \cdot (x-1)^n}{4^{n+1} (n+1)}}{\frac{(x-1)^n}{4^n n}} \right| = \left| \frac{(x-1)}{4} \cdot \frac{n}{n+1} \right| = \left| \frac{(x-1)}{4} \right| \cdot \left| \frac{n}{n+1} \right| \]

Предел дроби \(\frac{n}{n+1}\) при \(n \to \infty\) равен \(1\):

\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-1)}{4} \cdot \frac{n}{n+1} \right| = \left| \frac{x-1}{4} \right| \]

Ряд сходится, когда \( L < 1 \):

\[ \left| \frac{x-1}{4} \right| < 1 \]

2. Найдем радиус сходимости:

\[ \left| x-1 \right| < 4 \]

Таким образом, радиус сходимости \(R = 4\), и интервал сходимости:

\[ -3 < x < 5 \]

3. Проверим сходимость на границе интервала:

На границе \(x = -3\) и \(x = 5\):

• Для \(x = -3\):

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3-1)^n}{4^n n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n}{4^n n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \]

Этот ряд - знакопеременный ряд, который представляется как ряд Лейбница \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\), который сходится.

• Для \(x = 5\):

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(5-1)^n}{4^n n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{4^n n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \]

Этот ряд представляет собой гармонический ряд, который расходится.

Ответ:

Ряд сходится для \( -3 \leq x < 5 \). В точке \(x = -3\) ряд сходится, а в точке \(x = 5\) ряд расходится.