В каких точках на границе ряд сходится, а в каких расходится

Это задание по математике, а точнее по теории рядов. Нам нужно определить, в каких точках границы ряд сходится, а в каких точках расходится. Рассмотрим данный ряд:

$\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x-1{)}^n}{4^{n}n}\text{]}$

Анализ Ряда:

Чтобы выяснить, где данный ряд сходится, определим радиус сходимости с использованием признака Д'Аламбера.

1. Оценка радиуса сходимости:

Признак Д'Аламбера (или тест соотношений):

$\text{[}L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\text{]}$

Наши коэффициенты (члены ряда):

$\text{[}{a}_n=\frac{(x-1{)}^n}{4^{n}n}\text{]}$

Тогда

$\text{[}{a}_{n+1}=\frac{(x-1{)}^{n+1}}{4^{n+1}(n+1)}=\frac{(x-1{)}^{n+1}}{4^n\cdot 4(n+1)}=\frac{(x-1)\cdot (x-1{)}^n}{4\cdot 4^n(n+1)}=\frac{(x-1)\cdot (x-1{)}^n}{4^{n+1}(n+1)}\text{]}$

Теперь найдем отношение:

$\text{[}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\frac{(x-1)\cdot (x-1{)}^n}{4^{n+1}(n+1)}}{\frac{(x-1{)}^n}{4^{n}n}}\right|=|\frac{(x-1)}{4}\cdot \frac{n}{n+1}|=\left|\frac{(x-1)}{4}\right|\cdot \left|\frac{n}{n+1}\right|\text{]}$

Предел дроби $\text{(}\frac{n}{n+1}\text{)}$ при $\text{(}n\to \mathrm{\infty }\text{)}$ равен $\text{(}1\text{)}$:

$\text{[}L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{(x-1)}{4}\cdot \frac{n}{n+1}|=\left|\frac{x-1}{4}\right|\text{]}$

Ряд сходится, когда $\text{(}L<1\text{)}$:

$\text{[}\left|\frac{x-1}{4}\right|<1\text{]}$

2. Найдем радиус сходимости:

$\text{[}|x-1|<4\text{]}$

Таким образом, радиус сходимости $\text{(}R=4\text{)}$, и интервал сходимости:

$\text{[}-3<x<5\text{]}$

3. Проверим сходимость на границе интервала:

На границе $\text{(}x=-3\text{)}$ и $\text{(}x=5\text{)}$:

• Для $\text{(}x=-3\text{)}$:

$\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-3-1{)}^n}{4^{n}n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-4{)}^n}{4^{n}n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n}\text{]}$

Этот ряд - знакопеременный ряд, который представляется как ряд Лейбница $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n}\text{)}$, который сходится.

• Для $\text{(}x=5\text{)}$:

$\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(5-1{)}^n}{4^{n}n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4^n}{4^{n}n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\text{]}$

Этот ряд представляет собой гармонический ряд, который расходится.

Ответ:

Ряд сходится для $\text{(}-3\le x<5\text{)}$. В точке $\text{(}x=-3\text{)}$ ряд сходится, а в точке $\text{(}x=5\text{)}$ ряд расходится.