В двойном интеграле расставить пределы интегрирования в прямом и обратном порядке

Задание относится к предмету математический анализ, а именно к теме кратные интегралы.

Разбираем подробно первое задание:

1. В двойном интеграле \[ \iint_G f(x, y) \, dx \, dy \] а) расставить пределы интегрирования в прямом и обратном порядке.

Область \( G \) ограничена кривыми \( y = - \sqrt{x}, x - y = 2 \), \( x = 0 \).

Шаг 1. Построим область \(G\), ограниченную в осях \((x, y)\):

1. \( y = - \sqrt{x} \) — это парабола, ветви которой направлены вниз (для \( x \geq 0 \)).
2. \( x - y = 2 \) или \( y = x - 2 \) — это прямая линия.
3. \( x = 0 \) — вертикальная линия на оси \(y\).

Шаг 2. Найдем точки пересечения границ области:

• Чтобы найти точку пересечения параболы \( y = - \sqrt{x} \) и прямой \( y = x - 2 \), приравняем их:

\[ - \sqrt{x} = x - 2. \]

Возведем обе стороны в квадрат:

\[ x = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4. \]

Решим уравнение:

\[ x^2 - 5x + 4 = 0. \]

Корни этого квадратного уравнения:

\[ x_1 = 4, \quad x_2 = 1. \]

Соответственно, точки пересечения — это \( x = 1 \) и \( x = 4 \).

Теперь определим соответствующие значения \(y\):

• Для \( x = 1 \): \( y = -\sqrt{1} = -1 \) и \( y = 1 - 2 = -1 \).
• Для \( x = 4 \): \( y = -\sqrt{4} = -2 \) и \( y = 4 - 2 = 2 \).

Таким образом, область ограничена:

• По оси \(x: 1 \leq x \leq 4\).
• Соответствующие границы \(y\):
  • Снизу \( y = -\sqrt{x} \).
  • Сверху \( y = x - 2 \).

Шаг 3. Записываем пределы интегрирования:

Прямой порядок интегрирования (сначала по \(y\), потом по \(x\)):

\[ \int_{x=1}^{4} \int_{y=-\sqrt{x}}^{x-2} f(x, y) \, dy \, dx. \]

Обратный порядок интегрирования (сначала по \(x\), потом по \(y\)):

Найдем границы для \(y\):

• Нижняя граница по \(y = -2\).
• Верхняя граница: \( y = -1 \).

Соответственно, для каждого \( y \) границы \(x\) будут:

\[ x = (y+2) \quad \text{и} \quad x = y^2. \]

Запишем:

\[ \int_{y=-2}^{-1} \int_{x=y^2}^{y+2} f(x, y) \, dx \, dy. \]

б) Переход в полярную систему координат.

Перейдём к полярным координатам. Напомним, что переход осуществляется по следующим формулам:

\[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad dx \, dy = r \, dr \, d\theta. \]

Теперь рассмотрим нашу область.

1. Граница \( y = - \sqrt{x} \).

Переходя к полярным координатам, уравнение \( y = -\sqrt{x} \) становится:

\[ r \sin \theta = -\sqrt{r \cos \theta}. \]

Однако для точного выражения и оценки области дальнейшие вычисления зависят от решения этого уравнения для конкретных границ, что требует дополнений и уточнений.