В двойном интеграле а) расставить пределы интегрирования в том и другом порядке б) перейти в полярную систему координат, если область G ограничена кривыми

Предмет: математический анализ

Раздел: кратные интегралы

Задание:

1. В двойном интеграле: \[ \iint_G f(x,y) \, dx\, dy, \] где область \( G \) ограничена кривыми \( y = -\sqrt{x}, \) \( x - y = 2, \) \( x = 0. \)

Шаг 1. Определим границы области \( G \).

• \( y = -\sqrt{x} \) — это парабола, открытая вниз, вершина которой находится в точке \( (0, 0) \).
• \( x - y = 2 \) — это прямая, преобразованная в \( y = x - 2 \).
• \( x = 0 \) — это ось \( y \) (вертикальная прямая).

Теперь рассмотрим, как эти кривые ограничивают область:

1. Прямая \( x = 0 \) является левой границей.
2. Прямая \( x - y = 2 \), то есть \( y = x - 2 \), является одной из границ сверху.
3. Кривая \( y = -\sqrt{x} \) — это нижняя граница.

Шаг 2. Расстановка пределов интегрирования (первый порядок — \( dx \, dy \)):

Для \( y \) границы задаются от \( -2 \) до \( 0 \) (верхняя и нижняя границы), а для каждой фиксированной \( y \), \( x \) изменяется от \( x = 0 \) до пересечения \( x = (-y)^2 \) (решение уравнения \( y = -\sqrt{x} \)).

Пределы интегрирования:

\[ \int_{-2}^0 \int_0^{y^2} f(x,y) \, dx \, dy. \]

Шаг 3. Расстановка пределов интегрирования (второй порядок — \( dy \, dx \)):

Для \( x \) границы будут от \( 0 \) до \( 4 \) (найдено пересечение \( x = 4 \) между параболой \( y = -\sqrt{x} \) и прямой \( y = x − 2 \)), а для каждой фиксированной \( x \) \( y \) изменяется от \( y = -\sqrt{x} \) до \( y = x − 2 \).

Пределы интегрирования:

\[ \int_0^4 \int_{-\sqrt{x}}^{x-2} f(x,y) \, dy \, dx. \]

Шаг 4. Переход в полярные координаты.

Преобразуем область в полярные координаты. Помним, что связи в полярной системе координат между декартовыми координатами и полярными:

\[ x = r \cos{\theta}, \quad y = r \sin{\theta}. \]

Рассмотрим кривые:

1. \( y = -\sqrt{x} \) преобразуем: \( r \sin{\theta} = -\sqrt{r \cos{\theta}} \).
2. Прямая \( x - y = 2 \) становится: \( r \cos{\theta} - r \sin{\theta} = 2 \), можно выразить \( r \).

После этого переход на полярную систему завершён, и остаётся пересчитать внутренние пределы и функции для новой координатной системы.