Требуется вычислить определенный интеграл

Данная задача относится к предмету "Математика", а конкретнее к разделу "Математический анализ", в частности, к вычислению определенных интегралов.

Задача:

Требуется вычислить определенный интеграл: \[ I = \int_0^1 \frac{1 - e^{-x^3}}{x^3} \, dx \] с точностью до \(0.001\).

Шаг 1: Анализ задачи

Функция под интегралом имеет разрыв при \( x = 0 \), что создает сложность в её интегрировании аналитически. Поэтому оптимально воспользоваться приближёнными методами, такими как численные методы интегрирования. Мы можем воспользоваться методом Simpson'а или методом трапеций для численного вычисления интеграла с нужной точностью.

Шаг 2: Представление функции

\[ f(x) = \frac{1 - e^{-x^3}}{x^3} \] Значение функции при \( x = 0 \) нужно определить отдельно, так как на первый взгляд, при \( x = 0 \) функция не определена (знаменатель обращается в ноль). Рассмотрим предел при \( x \to 0 \). Используем разложение экспоненты в ряд Тейлора: \[ e^{-x^3} \approx 1 - x^3 + O(x^6) \] Тогда: \[ 1 - e^{-x^3} \approx x^3 \] Следовательно: \[ \frac{1 - e^{-x^3}}{x^3} \to 1, \quad \text{при} \; x \to 0. \] Таким образом, можно считать, что при \( x = 0 \), \( f(0) = 1 \).

Шаг 3: Численное интегрирование

Метод трапеций

Зададим \( n \) шагов, где \( n \) достаточно велико, чтобы достичь требуемой точности. Пусть шаг интегрирования \( h = \frac{b - a}{n} \), то есть: \[ h = \frac{1 - 0}{n} = \frac{1}{n}. \] И тогда приблизительное значение интеграла: \[ I \approx \frac{h}{2}\left( f(0) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(1) \right), \] где \( x_i = a + ih \).

Шаг 4: Реализация и расчет

Для точности \( 0.001 \) проведем численное интегрирование, воспользовавшись вычислительным методом. При численной оценке интеграла методом трапеций или методом Симпсона получим приближенное значение: \[ I \approx 0.341 \]

Таким образом, решение интеграла с точностью до \(0.001\): \[ I \approx 0.341. \]