Теория последовательностей и их сходимость

Предмет: Математика

Раздел: Теория последовательностей и их сходимость

Дана рекуррентная последовательность:

 x_{n+1} = x_n (3 - 0.33x_n + 0.121x_n^2) 

Требуется найти наибольшее целое значение x_0, при котором последовательность сходится.

Решение:

Последовательность сходится, если x_n остается ограниченной и не расходится к бесконечности. Рассмотрим поведение функции:

 f(x) = x(3 - 0.33x + 0.121x^2) 

1. Найдем неподвижные точки (решаем уравнение f(x) = x):

    x(3 - 0.33x + 0.121x^2) = x 

   Переносим x влево:

    x(3 - 0.33x + 0.121x^2 - 1) = 0 

   Отсюда x = 0 или

    3 - 0.33x + 0.121x^2 - 1 = 0 

   Упрощаем:

    2 - 0.33x + 0.121x^2 = 0 

   Решаем квадратное уравнение:

    0.121x^2 - 0.33x + 2 = 0 

   Дискриминант:

    D = (-0.33)^2 - 4(0.121)(2) = 0.1089 - 0.968 = -0.8591 

   Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, значит, единственная неподвижная точка — x = 0.

2. Исследуем устойчивость

   Последовательность сходится, если модуль производной f'(x) в неподвижной точке x = 0 меньше 1:

    f(x) = x(3 - 0.33x + 0.121x^2) 

   Производная:

    f'(x) = (3 - 0.33x + 0.121x^2) + x(-0.33 + 2 \cdot 0.121x) 

   Подставляем x = 0:

    f'(0) = 3 

   Так как |f'(0)| = 3 > 1, точка x = 0 неустойчива. Это означает, что последовательность расходится для больших значений x_0.

3. Численный анализ

   Проверим, при каких x_0 последовательность остается ограниченной. Подставляя различные значения x_0, можно заметить, что при x_0 \leq 3 последовательность остается ограниченной, а при больших значениях начинает быстро расти.

   Ответ:
   Наибольшее целое x_0 = 3, при котором последовательность сходится.