Теорема о среднем для интегралов

Данное задание относится к предмету математический анализ, точнее, к разделу, где изучаются интегралы и теоремы о среднем для интегралов, также иногда эту тему изучают в рамках математической физики и прикладного анализа. Мы работаем с теоремой о среднем для интегралов, которая используется для определения спецификации точек, в которых функция принимает среднее значение на каком-то промежутке.

Формулировка теоремы о среднем для интегралов:

Пусть \( f(x) \) — непрерывная функция на отрезке \([a, b]\). Тогда существует такая точка \( c \in [a, b] \), что

\[ \int_a^b f(x) \, dx = f(c) \cdot (b - a) \]

Эта теорема утверждает, что существует такая точка \( c \), в которой значение функции \( f \) совпадает со средним значением функции на отрезке \([a, b]\), умноженным на длину отрезка \( (b - a) \).

Теперь разберём задание:

"если функция непрерывна на , то существует точка , такая, что \( \int_a^b f(x) \, dx = \)"

Здесь пробелы в предложении говорят о том, что задача неполно сформулирована, но, судя по контексту, речь идёт о применении теоремы о среднем.

Подставляем формулу:

\( \int_a^b f(x) \, dx = f(c) \cdot (b - a) \), где \( c \in [a, b] \) — это точка, в которой функция \( f(c) \) принимает своё "среднее" значение на всём промежутке \( [a, b] \).

Вывод:

На этом этапе мы получаем завершённую формулировку задания: согласно теореме о среднем, если функция \( f(x) \) непрерывна на \( [a, b] \), то существует точка \( c \in [a, b] \), такая, что:

\[\int_a^b f(x) \, dx = f(c) \cdot (b - a).\]