Теорема о среднем для интегралов

Данное задание относится к предмету математический анализ, точнее, к разделу, где изучаются интегралы и теоремы о среднем для интегралов, также иногда эту тему изучают в рамках математической физики и прикладного анализа. Мы работаем с теоремой о среднем для интегралов, которая используется для определения спецификации точек, в которых функция принимает среднее значение на каком-то промежутке.

Формулировка теоремы о среднем для интегралов:

Пусть $\text{(}f(x)\text{)}$ — непрерывная функция на отрезке $\text{(}[a,b]\text{)}$. Тогда существует такая точка $\text{(}c\in [a,b]\text{)}$, что

$\text{[}{\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)\cdot (b-a)\text{]}$

Эта теорема утверждает, что существует такая точка $\text{(}c\text{)}$, в которой значение функции $\text{(}f\text{)}$ совпадает со средним значением функции на отрезке $\text{(}[a,b]\text{)}$, умноженным на длину отрезка $\text{(}(b-a)\text{)}$.

Теперь разберём задание:

"если функция непрерывна на , то существует точка , такая, что $\text{(}{\int }_a^{b}f(x)dx=\text{)}$"

Здесь пробелы в предложении говорят о том, что задача неполно сформулирована, но, судя по контексту, речь идёт о применении теоремы о среднем.

Подставляем формулу:

$\text{(}{\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)\cdot (b-a)\text{)}$, где $\text{(}c\in [a,b]\text{)}$ — это точка, в которой функция $\text{(}f(c)\text{)}$ принимает своё "среднее" значение на всём промежутке $\text{(}[a,b]\text{)}$.

Вывод:

На этом этапе мы получаем завершённую формулировку задания: согласно теореме о среднем, если функция $\text{(}f(x)\text{)}$ непрерывна на $\text{(}[a,b]\text{)}$, то существует точка $\text{(}c\in [a,b]\text{)}$, такая, что:

$\text{[}{\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)\cdot (b-a).\text{]}$