Тело V задано ограничивающими его поверхностями, и плотность. Найти массу тела.

Данное задание относится к курсу математического анализа, а именно к разделу "Замена переменных в тройных интегралах" для расчета массы тела с заданной плотностью. Рассмотрим все шаги решения задачи.

Шаг 1: Определение областей интегрирования в цилиндрических координатах

Прежде всего, мы должны определить область интегрирования. Телу \(V\) соответствуют ограничивающие поверхности:

1. \(x^2 + y^2 = z^2\) параболоид.
2. \(x^2 + y^2 = z\) конус.
3. \(x = 0\), \(y = 0\).

Также учитываем, что \(x \geq 0\), \(y \geq 0\).

Переход в цилиндрические координаты:

Цилиндрические координаты: \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\), \(z = z\).

При этом якобиан перехода \(J\) равен \(r\).

Уравнения в цилиндрических координатах:

1. \(r^2 = z^2\) --> \(z = r\).
2. \(r^2 = z\).

Шаг 2: Определение пределов интегрирования

Заданная область ограничена поверхностью \(y\) и конусом \(z = r\):

Для переменной \(r\): \(r^2 = z \rightarrow r = \sqrt{z}\), то есть \(0 \leq r \leq \sqrt{z}\)

Для переменной \(z\): Так как \(z = r\) и \(z = 0\): \(0 \leq z \leq 1\)

Для \(\theta\) (так как \(x \geq 0\), \(y \geq 0\)): \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)

Шаг 3: Формулировка интеграла для массы тела

Теперь находим массу тела \(V\) по формуле:

\[ M = \iiint_V \mu \, dV \]

В цилиндрических координатах:

\[ \mu = \rho (r, \theta, z) = 35 yz = 35 r^2 \sin \theta \cdot r = 35 r^3 \sin \theta \]

\[ dV = r \, dr \, d\theta \, dz \]

\[ M = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{z}} 35 r^3 \sin \theta \cdot r \, dr \, dz \, d\theta \]

Шаг 4: Вычисление интеграла

1. Выполняем интегрирование по \(r\):

\[ M = 35 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \sin \theta \left( \int_{0}^{\sqrt{z}} r^4 \, dr \right) \, dz \, d\theta \]

\[ \int_{0}^{\sqrt{z}} r^4 \, dr = \left[ \frac{r^5}{5} \right]_{0}^{\sqrt{z}} = \frac{(\sqrt{z})^5}{5} = \frac{z^{5/2}}{5} \]

2. Выполняем интегрирование по \(z\):

\[ M = 35 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \left( \int_{0}^{1} \frac{z^{5/2}}{5} \, dz \right) \, d\theta \]

\[ \int_{0}^{1} z^{5/2} \, dz = \left[ \frac{z^{5/2 + 1}}{5/2 + 1} \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{z^{7/2}}{7/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{7} \]

3. Выполняем интегрирование по \(\theta\):

\[ M = 35 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cdot \frac{2}{35} \, d\theta \]

\[ M = 35 \cdot \frac{2}{7} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \, d\theta \]

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \, d\theta = \left[ -\cos \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (0 - (-1)) = 1 \]

Итак, масса:

\[ M = 5 \cdot 2 \cdot 1 = 2 \]

Ответ: Масса \(M\) тела равна \(10\).