Системы уравнений и замена переменных

Этот пример относится к математике, разделу алгебры, точнее к теме "Системы уравнений и замена переменных" или "Графики квадратичных функций".

Задано:

\[ y = x^2 \]
\[ y = -x^2 + 2 \]

Необходимо найти точки пересечения двух парабол, то есть решить систему уравнений.

Решение:

Чтобы найти точки пересечения графиков, приравняем правые части уравнений, так как \( y \) должен быть один и тот же для обеих функций:

\[ x^2 = -x^2 + 2 \]

1. Упростим уравнение:

Переносим \( -x^2 \) вправо:

\[ x^2 + x^2 = 2 \]

Сложим квадраты:

\[ 2x^2 = 2 \]

Разделим обе части на 2:

\[ x^2 = 1 \]

2. Найдём \( x \):

Для нахождения \( x \) извлечем квадратный корень из обеих сторон:

\[ x = \pm 1 \]

То есть \( x = 1 \) или \( x = -1 \).

3. Найдём \( y \) для каждого значения \( x \):

Подставляем \( x = 1 \) и \( x = -1 \) в любое из исходных уравнений (лучше \( y = x^2 \), так как оно проще):

Для \( x = 1 \):

\[ y = 1^2 = 1 \]

Для \( x = -1 \):

\[ y = (-1)^2 = 1 \]

Ответ:

Точки пересечения графиков — это:

\[ (1, 1) \; \text{и} \; (-1, 1). \]

Проверка:

Подставим обе точки в второе уравнение \( y = -x^2 + 2 \) для проверки:

1. Для \( (1, 1) \):

\[ y = -(1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1. \]

Точка удовлетворяет уравнению.

2. Для \( (-1, 1) \):

\[ y = -(-1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1. \]

Точка тоже удовлетворяет уравнению. Графики действительно пересекаются в этих точках.