Сделайте интеграл

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Дано:

Найти неопределённый интеграл:

 I = \int \frac{\sqrt{1 - t^2}}{t^5} \, dt 

Решение:

Перепишем интеграл в виде:  I = \int t^{-5} \sqrt{1 - t^2} \, dt 

Используем подстановку:  t = \sin x, \quad dt = \cos x \, dx 

Тогда:  \sqrt{1 - t^2} = \cos x 

И выражение принимает вид:  I = \int \sin^{-5} x \cdot \cos x \, dx 

Разделим степени:  I = \int \sin^{-5} x \cos x \, dx 

Используем замену:  u = \sin x, \quad du = \cos x \, dx 

Тогда:  I = \int u^{-5} \, du 

Интегрируем:  I = \frac{u^{-4}}{-4} = -\frac{1}{4} u^{-4} = -\frac{1}{4} \sin^{-4} x 

Возвращаемся к переменной t:  I = -\frac{1}{4} t^{-4} = -\frac{1}{4} \frac{1}{t^4} 

Ответ:

 I = -\frac{1}{4t^4} + C