С помощью перехода к полярным координатам найти двойной интеграл

Задание относится к предмету математики, в раздел вычисления кратных интегралов и перехода к полярным координатам.

1. Определим область интегрирования и перепишем её используя полярные координаты.

x = r\cos\theta

y = r\sin\theta

Для области A:

x^2 + y^2 + 22 \leq 2y - 10x

r^2 + 22 \leq 2r\sin\theta - 10r\cos\theta

r^2 - 2r\sin\theta + 10r\cos\theta + 22 \leq 0

Упростим уравнение:

r^2 + r(-2\sin\theta + 10\cos\theta) + 22 \leq 0

r^2 + r(-2\sin\theta + 10\cos\theta) + 22 = 0

Рассмотрим дискриминант:

D = (-2\sin\theta + 10\cos\theta)^2 - 4(1)(22)

D = 4\sin^2\theta - 40\sin\theta\cos\theta + 100\cos^2\theta - 88

D = 4(\sin^2\theta + 25\cos^2\theta - 10\sin\theta\cos\theta - 22)

Рассчитаем корни:

r_1 = \frac{(-(-2\sin\theta + 10\cos\theta) + \sqrt{D})}{2}

r_2 = \frac{(-(-2\sin\theta + 10\cos\theta) - \sqrt{D})}{2}

Область B: В полярных координатах:

x \leq -5

r\cos\theta \leq -5

r \leq \frac{-5}{\cos\theta}

y \geq 1

r\sin\theta \geq 1

r \geq \frac{1}{\sin\theta}

Теперь, перепишем двойной интеграл:

\iint_{D} (x + 5y) \, dx \, dy

В полярных координатах:

\iint_{D} (r\cos\theta + 5r\sin\theta) \, r \, dr \, d\theta

Область D:

r_1(\theta) \leq r \leq r_2(\theta)

0 \leq \theta \leq 2\pi

Тогда интеграл примет вид:

\int_{0}^{2\pi} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} (r\cos\theta + 5r\sin\theta) r \, dr \, d\theta

Промежуточные вычисления:

\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} r^2\cos\theta + 5r^2\sin\theta \, dr

\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} r^2(\cos\theta + 5\sin\theta) \, dr

Теперь введем интеграл для r:

\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{r_1}^{r_2}

\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} r^2 \, dr = \frac{r_2^3}{3} - \frac{r_1^3}{3}

Текущий интеграл:

\int_{0}^{2\pi} \left( \frac{r_2^3}{3} - \frac{r_1^3}{3} \right) (\cos\theta + 5\sin\theta)\, d\theta

Далее нужно вычислить полученный интеграл по \theta, подставив пределы и посчитать окончательное значение.