С помощью перехода к полярным координатам найти двойной интеграл

Условие:

С помощью перехода к полярным координатом найти двойной интеграл (x+5y)dxdy по области D = A\B, где A = {(x,y): x^2+y^2+22<=2y-10x}, а B = {(x,y): x<=-5;y>=1}

Условие: С помощью перехода к полярным координатом найти двойной интеграл (x+5y)dxdy
по области D = A\B, где A = {(x,y): x^2+y^2+22<=2y-10x}, а B = {(x,y): x<=-5;y>=1}

Решение:

Задание относится к предмету математики, в раздел вычисления кратных интегралов и перехода к полярным координатам.

1. Определим область интегрирования и перепишем её используя полярные координаты.

x=rcosθ

y=rsinθ

Для области A:

x2+y2+222y10x

r2+222rsinθ10rcosθ

r22rsinθ+10rcosθ+220

Упростим уравнение:

r2+r(2sinθ+10cosθ)+220

r2+r(2sinθ+10cosθ)+22=0

Рассмотрим дискриминант:

D=(2sinθ+10cosθ)24(1)(22)

D=4sin2θ40sinθcosθ+100cos2θ88

D=4(sin2θ+25cos2θ10sinθcosθ22)

Рассчитаем корни:

r1=((2sinθ+10cosθ)+D)2

r2=((2sinθ+10cosθ)D)2

Область B: В полярных координатах:

x5

rcosθ5

r5cosθ

y1

rsinθ1

r1sinθ

Теперь, перепишем двойной интеграл:

D(x+5y)dxdy

В полярных координатах:

D(rcosθ+5rsinθ)rdrdθ

Область D:

r1(θ)rr2(θ)

0θ2π

Тогда интеграл примет вид:

02πr1(θ)r2(θ)(rcosθ+5rsinθ)rdrdθ

Промежуточные вычисления:

r1(θ)r2(θ)r2cosθ+5r2sinθdr

r1(θ)r2(θ)r2(cosθ+5sinθ)dr

Теперь введем интеграл для r:

r1(θ)r2(θ)r2dr=[r33]r1r2

r1(θ)r2(θ)r2dr=r233r133

Текущий интеграл:

02π(r233r133)(cosθ+5sinθ)dθ

Далее нужно вычислить полученный интеграл по θ, подставив пределы и посчитать окончательное значение.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут