С помощью перехода к полярным координатам найти двойной интеграл

Задание относится к предмету математики, в раздел вычисления кратных интегралов и перехода к полярным координатам.

1. Определим область интегрирования и перепишем её используя полярные координаты.

$x=r\cos \theta$

$y=r\sin \theta$

Для области $A$:

$x^2+y^2+22\le 2y-10x$

$r^2+22\le 2r\sin \theta -10r\cos \theta$

$r^2-2r\sin \theta +10r\cos \theta +22\le 0$

Упростим уравнение:

$r^2+r(-2\sin \theta +10\cos \theta )+22\le 0$

$r^2+r(-2\sin \theta +10\cos \theta )+22=0$

Рассмотрим дискриминант:

$D=(-2\sin \theta +10\cos \theta {)}^2-4(1)(22)$

$D=4{\sin }^2\theta -40\sin \theta \cos \theta +100{\cos }^2\theta -88$

$D=4({\sin }^2\theta +25{\cos }^2\theta -10\sin \theta \cos \theta -22)$

Рассчитаем корни:

$r_1=\frac{(-(-2\sin \theta +10\cos \theta )+\sqrt{D})}{2}$

$r_2=\frac{(-(-2\sin \theta +10\cos \theta )-\sqrt{D})}{2}$

Область $B$: В полярных координатах:

$x\le -5$

$r\cos \theta \le -5$

$r\le \frac{-5}{\cos \theta }$

$y\ge 1$

$r\sin \theta \ge 1$

$r\ge \frac{1}{\sin \theta }$

Теперь, перепишем двойной интеграл:

${\iint }_D(x+5y)dxdy$

В полярных координатах:

${\iint }_D(r\cos \theta +5r\sin \theta )rdrd\theta$

Область $D$:

$r_1(\theta )\le r\le r_2(\theta )$

$0\le \theta \le 2\pi$

Тогда интеграл примет вид:

${\int }_0^{2\pi }{\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}(r\cos \theta +5r\sin \theta )rdrd\theta$

Промежуточные вычисления:

${\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}{r}^2\cos \theta +5r^2\sin \theta dr$

${\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}{r}^2(\cos \theta +5\sin \theta )dr$

Теперь введем интеграл для $r$:

${\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}{r}^{2}dr={\left[\frac{r^3}{3}\right]}_{r_1}^{r_2}$

${\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}{r}^{2}dr=\frac{r_2^3}{3}-\frac{r_1^3}{3}$

Текущий интеграл:

${\int }_0^{2\pi }(\frac{r_2^3}{3}-\frac{r_1^3}{3})(\cos \theta +5\sin \theta )d\theta$

Далее нужно вычислить полученный интеграл по $\theta$, подставив пределы и посчитать окончательное значение.