С помощью непосредственного интегрирования и подведения под знак дифференциала вычислить интеграл

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Вычисление определённых интегралов

Нам нужно вычислить определённый интеграл:

 \int_{1}^{4} \frac{1 + \sqrt{y}}{y^2} \, dy 

Шаг 1: Разделим дробь на два слагаемых

Разделим числитель:

 \frac{1 + \sqrt{y}}{y^2} = \frac{1}{y^2} + \frac{\sqrt{y}}{y^2} 

Заметим, что \frac{\sqrt{y}}{y^2} = \frac{y^{1/2}}{y^2} = y^{-3/2}, а \frac{1}{y^2} = y^{-2}

Таким образом, перепишем интеграл:

 \int_{1}^{4} \left( y^{-2} + y^{-3/2} \right) dy 

Шаг 2: Проинтегрируем каждое слагаемое

Воспользуемся формулой для интеграла степенной функции:

 \int y^n \, dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1 

1. Интеграл от y^{-2}:

 \int y^{-2} \, dy = \frac{y^{-1}}{-1} = -\frac{1}{y} 

2. Интеграл от y^{-3/2}:

 \int y^{-3/2} \, dy = \frac{y^{-1/2}}{-1/2} = -2 y^{-1/2} 

Шаг 3: Подставим пределы интегрирования

Теперь вычислим определённый интеграл:

 \int_{1}^{4} \left( y^{-2} + y^{-3/2} \right) dy = \left[ -\frac{1}{y} - 2 y^{-1/2} \right]_{1}^{4} 

Вычислим значения на верхнем и нижнем пределах:

На верхнем пределе (y = 4):

 -\frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{4}} = -\frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} - 1 = -\frac{5}{4} 

На нижнем пределе (y = 1):

 -\frac{1}{1} - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} = -1 - 2 = -3 

Шаг 4: Вычислим разность

 \left( -\frac{5}{4} \right) - (-3) = -\frac{5}{4} + 3 = \frac{7}{4} 

Ответ:

 \int_{1}^{4} \frac{1 + \sqrt{y}}{y^2} \, dy = \frac{7}{4}