Решить с помощью тригонометрической подстановки

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Дан определенный интеграл:
\int x^2 \sqrt{1 - x^2} \, dx

Решим его с помощью тригонометрической подстановки.

Шаг 1: Подстановка

Пусть x = \sin t, тогда dx = \cos t \, dt.
Также \sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t.

Подставляем в интеграл:
\int \sin^2 t \cdot \cos t \cdot \cos t \, dt
= \int \sin^2 t \cos^2 t \, dt.

Шаг 2: Замена переменной

Используем замену u = \sin t, тогда du = \cos t \, dt.

Переписываем интеграл:
\int u^2 (1 - u^2) \, du.

Раскрываем скобки:
\int (u^2 - u^4) \, du.

Шаг 3: Интегрирование

Интегрируем по правилам степенного интегрирования:
\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C.

Возвращаемся к u = \sin t:
\frac{\sin^3 t}{3} - \frac{\sin^5 t}{5} + C.

Так как t = \arcsin x, то \sin t = x.

Окончательный ответ:
\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} + C.