Решить привидением к табличному

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы, методы интегрирования

Решение:

Дан интеграл:

 I = \int \frac{e^{cx} \, dx}{\sin^2 x} 

Используем стандартную подстановку:

 t = \tan x, \quad dt = \frac{dx}{\cos^2 x} 

Также известно, что:

 \frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \cot^2 x = 1 + \frac{1}{\tan^2 x} 

Преобразуем интеграл:

 I = \int e^{cx} (1 + \cot^2 x) dx 

Разделим на два интеграла:

 I = \int e^{cx} dx + \int e^{cx} \cot^2 x \, dx 

Далее, используя табличные интегралы, можно выразить результат через стандартные функции. Однако, для получения точного результата потребуется дополнительное разложение и использование метода интегрирования по частям.