Решить предел выражения

Это задание по предмету «математика», раздел «пределы».

Нам нужно решить предел выражения: \[ \lim_{x \to 10} \frac{\sqrt{x-1} - 3}{x - 10} \]

1. Подставка: Подставим \( x = 10 \) в выражение: \[ \frac{\sqrt{10-1} - 3}{10 - 10} = \frac{\sqrt{9} - 3}{0} = \frac{3 - 3}{0} = \frac{0}{0} \] Мы получили неопределенность \( \frac{0}{0} \), нужно использовать метод алгебраических преобразований.
2. Домножение на сопряженное выражение: Для устранения неопределенности домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение числителя \( \sqrt{x-1} + 3 \). \[ \lim_{x \to 10} \frac{\sqrt{x-1} - 3}{x - 10} \cdot \frac{\sqrt{x-1} + 3}{\sqrt{x-1} + 3} = \lim_{x \to 10} \frac{(\sqrt{x-1})^2 - 3^2}{(x - 10)(\sqrt{x-1} + 3)} \]
3. Упрощение числителя: Поскольку \( (\sqrt{x-1})^2 = x-1 \) и \( 3^2 = 9 \), числитель становится: \[ (\sqrt{x-1})^2 - 9 = x - 1 - 9 = x - 10 \] Значит, выражение принимает вид: \[ \lim_{x \to 10} \frac{x - 10}{(x - 10)(\sqrt{x-1} + 3)} \]
4. Сокращение: Сокращаем \( x - 10 \) в числителе и знаменателе: \[ \lim_{x \to 10} \frac{1}{\sqrt{x-1} + 3} \]
5. Подстановка: Подставим \( x = 10 \) в оставшееся выражение: \[ \frac{1}{\sqrt{10-1} + 3} = \frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6} \] Ответ: \[ \lim_{x \to 10} \frac{\sqrt{x-1} - 3}{x - 10} = \frac{1}{6} \]