Решить подробно и как будет выглядеть график

Определение предмета и раздела:

Данный вопрос относится к математическому анализу, а именно к криволинейным интегралам.

Решение:

Дан криволинейный интеграл:

\oint_L xy \,dx - (x - y) \,dy

где ( L ) — левая половина эллипса, заданного параметрически:

 \begin{cases} x = 2\cos t, \ y = 3\sin t, \end{cases} 

причём ( t ) изменяется таким образом, что кривая пробегается по ходу часовой стрелки.

1. Вычислим дифференциалы ( dx ) и ( dy ):

Дифференцируем:

 dx = \frac{d}{dt} (2\cos t) dt = -2\sin t \, dt, 

 dy = \frac{d}{dt} (3\sin t) dt = 3\cos t \, dt. 

2. Подставляем в интеграл:

Выразим подынтегральное выражение через ( t ):

• ( xy = (2\cos t)(3\sin t) = 6\cos t \sin t ).
• ( x - y = 2\cos t - 3\sin t ).

Теперь подставляем:

 \oint_L xy \,dx - (x - y) \,dy = \int_{t_1}^{t_2} (6\cos t \sin t)(-2\sin t \, dt) - (2\cos t - 3\sin t)(3\cos t \, dt). 

Раскрываем скобки:

 \int_{t_1}^{t_2} (-12\cos t \sin^2 t - 6\cos t^2 + 9\sin t \cos t) \, dt. 

3. Определение пределов интегрирования:

Левая половина эллипса соответствует значениям ( t ) от ( \pi ) до ( 0 ) (по часовой стрелке).

Следовательно, окончательный интеграл:

 I = \int_{\pi}^{0} (-12\cos t \sin^2 t - 6\cos^2 t + 9\sin t \cos t) \, dt. 

График:

График эллипса ( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 ) представляет собой эллипс, вытянутый вдоль оси ( Oy ). Нам нужна левая половина, которая пробегается по часовой стрелке.

График будет выглядеть следующим образом:

• Эллипс с полуосями 2 и 3.
• Левую половину (где ( x \leq 0 )) выделяем.
• Стрелка указывает движение по часовой стрелке.

Ответ:

Определённый интеграл:

 I = \int_{\pi}^{0} (-12\cos t \sin^2 t - 6\cos^2 t + 9\sin t \cos t) \, dt. 

График — левая половина эллипса, пробегаемая по часовой стрелке.