Решить определённый интеграл с использованием метода интегрирования по частям

Предмет: Математика

Раздел предмета: Интегральное исчисление (метод интегрирования по частям)

Задача: Решить определённый интеграл \(\int_{0}^{\frac{1}{2}} \arcsin(x) dx\) с использованием метода интегрирования по частям.

Идея метода интегрирования по частям:

Для двух функций \(u(x)\) и \(v'(x)\):

\[ \int u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - \int u'(x) v(x) dx \]

Мы выбираем \(u(x)\) так, чтобы её производная \(u'(x)\) была проще, и \(v'(x)\) так, чтобы \(v(x)\) легко интегрировалась.

Решение:

Для интегрирования выражения \(\int \arcsin(x) dx\), сделаем следующее:

1. Пусть: \[ u(x) = \arcsin(x), \quad v'(x) = 1 \] Тогда: \[ u'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad v(x) = x \]
2. Применим формулу интегрирования по частям: \[ \int \arcsin(x) dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) dx \] Подставляем: \[ \int \arcsin(x) dx = x \arcsin(x) - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx \]
3. Второй интеграл \(\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx\) решим подстановкой: Пусть \(t = 1 - x^2\), тогда \(dt = -2x dx\), и интеграл преобразуется как: \[ \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt \]
4. Интеграл \(\int \frac{1}{\sqrt{t}} dt\) равен \(2\sqrt{t}\): \[ \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{1 - x^2} = -\sqrt{1 - x^2} \]
5. Подставим результат обратно: \[ \int \arcsin(x) dx = x \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C \]

Вычисление определённого интеграла:

1. Подставим \(x = 0.5, \, x = 0\) в общий вид первообразной: \[ F(x) = x \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} \]
2. Вычислим \(F\left(\frac{1}{2}\right)\): \[ F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} \] Напомним, что \(\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}\), а \(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}\), следовательно \(\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставляем: \[ F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \]
3. Вычислим \(F(0)\): \[ F(0) = 0 \cdot \arcsin(0) + \sqrt{1 - 0^2} = 0 + 1 = 1 \]
4. Найдём разность \(F\left(\frac{1}{2}\right) - F(0)\): \[ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \arcsin(x) dx = \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 1 \] Упростим: \[ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \arcsin(x) dx = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \]

Ответ:

\[ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \arcsin(x) dx = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \]

Теперь вернёмся к исходному определённому интегралу \(\int_{0}^{\frac{1}{2}} \arcsin(x) dx\).