Решить определённый интеграл формулой Ньютона Лейбница

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Дан определённый интеграл:
\int\limits_{0}^{1} x e^{-2x} \,dx.

Решение:
Используем метод интеграции по частям. Формула интегрирования по частям:
\int u \, dv = uv - \int v \, du.

Выбираем:
u = x, \quad dv = e^{-2x}dx.

Тогда:
du = dx, \quad v = \int e^{-2x}dx = \frac{e^{-2x}}{-2} = -\frac{1}{2} e^{-2x}.

Применяем формулу интегрирования по частям:
\int x e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} x e^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx.

Вычисляем оставшийся интеграл:
\int e^{-2x}dx = -\frac{1}{2} e^{-2x}.

Подставляем:
\int x e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} x e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x}.

Теперь вычисляем определённый интеграл:
\left[ -\frac{1}{2} x e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x} \right]_{0}^{1}.

Подставляем пределы:

При x = 1:
-\frac{1}{2} (1) e^{-2} - \frac{1}{4} e^{-2} = -\frac{1}{2} e^{-2} - \frac{1}{4} e^{-2} = -\frac{3}{4} e^{-2}.

При x = 0:
-\frac{1}{2} (0) e^{0} - \frac{1}{4} e^{0} = -\frac{1}{4}.

Находим разность:
-\frac{3}{4} e^{-2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} e^{-2}.

Ответ:
\frac{1}{4} (1 - 3e^{-2}).