Решить определенный интеграл

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Рассмотрим данный определенный интеграл:

 I = \int \frac{dx}{x \left( \sqrt[5]{x^2} + 3 \right)} 

Замена переменной:

Введем замену:
 t = \sqrt[5]{x^2} = x^{2/5}  Тогда продифференцируем:
 dt = \frac{2}{5} x^{-3/5} dx  Выразим dx:
 dx = \frac{5}{2} x^{3/5} dt 

Так как t = x^{2/5}, то x = t^{5/2}, подставляя это в dx:
 dx = \frac{5}{2} t^{3/2} dt 

Теперь подставим в интеграл:
 I = \int \frac{\frac{5}{2} t^{3/2} dt}{t^{5/2} (t + 3)} 

Упрощаем:
 I = \frac{5}{2} \int \frac{t^{3/2} dt}{t^{5/2} (t + 3)} 

 I = \frac{5}{2} \int \frac{dt}{t (t + 3)} 

Разложение на простейшие дроби:

Разложим дробь:
 \frac{1}{t (t + 3)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3} 

Умножим на знаменатель:
 1 = A (t + 3) + B t 

Распишем:
 1 = A t + 3A + B t 

Сгруппируем:
 1 = (A + B)t + 3A 

Приравниваем коэффициенты:

1. A + B = 0
2. 3A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{3}

Подставляя A во второе уравнение:
 \frac{1}{3} + B = 0 \Rightarrow B = -\frac{1}{3} 

Интегрирование:

 I = \frac{5}{2} \int \left(\frac{1/3}{t} - \frac{1/3}{t + 3} \right) dt 

 I = \frac{5}{2} \left( \frac{1}{3} \ln |t| - \frac{1}{3} \ln |t + 3| \right) 

 I = \frac{5}{6} \ln \left| \frac{t}{t + 3} \right| 

Подставляем t = x^{2/5}:
 I = \frac{5}{6} \ln \left| \frac{x^{2/5}}{x^{2/5} + 3} \right| + C 

Ответ:

 I = \frac{5}{6} \ln \left| \frac{x^{2/5}}{x^{2/5} + 3} \right| + C