Решить неопределенный интеграл

Предмет: Математика

Раздел: Интегралы (Неопределенные интегралы)

Рассмотрим интеграл:

 I = \int \frac{x^2}{\sin^2(1 - 2x^3)} \,dx 

Замена переменной:

Пусть:  t = 1 - 2x^3  Тогда, дифференцируя:  dt = -6x^2 dx  или:  dx = \frac{dt}{-6x^2} 

Подставляем в интеграл:  I = \int \frac{x^2}{\sin^2 t} \cdot \frac{dt}{-6x^2} 

Сокращаем x^2:  I = \int \frac{dt}{-6\sin^2 t} 

Используем представление:  \frac{1}{\sin^2 t} = \csc^2 t 

Тогда:  I = -\frac{1}{6} \int \csc^2 t \, dt 

Известно, что:  \int \csc^2 t \, dt = -\cot t 

Следовательно:  I = -\frac{1}{6} (-\cot t) = \frac{1}{6} \cot t 

Возвращаемся к t:  I = \frac{1}{6} \cot(1 - 2x^3) + C 

Ответ:

 I = \frac{1}{6} \cot(1 - 2x^3) + C