Решить неопределенные интегралы

Предмет: Математика

Раздел: Интегралы (Неопределенные интегралы)

Рассмотрим интеграл:
\int \cos^4 \left(\frac{8x}{3}\right) dx

Шаг 1: Используем понижение степени

Используем тождество:
\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2}

Записываем \cos^4 A через \cos^2 A:
\cos^4 A = (\cos^2 A)^2 = \left(\frac{1 + \cos 2A}{2}\right)^2

Подставляем A = \frac{8x}{3}:
\cos^4 \left(\frac{8x}{3}\right) = \left(\frac{1 + \cos \frac{16x}{3}}{2}\right)^2

Шаг 2: Раскрываем квадрат

\left(\frac{1 + \cos \frac{16x}{3}}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\cos \frac{16x}{3} + \cos^2 \frac{16x}{3}}{4}

Используем снова понижение степени для \cos^2 \frac{16x}{3}:
\cos^2 \frac{16x}{3} = \frac{1 + \cos \frac{32x}{3}}{2}

Тогда:
\frac{1 + 2\cos \frac{16x}{3} + \frac{1 + \cos \frac{32x}{3}}{2}}{4} = \frac{2 + 4\cos \frac{16x}{3} + 1 + \cos \frac{32x}{3}}{8}
= \frac{3 + 4\cos \frac{16x}{3} + \cos \frac{32x}{3}}{8}

Шаг 3: Интегрируем

Разбиваем на три интеграла:
\int \cos^4 \left(\frac{8x}{3}\right) dx = \frac{1}{8} \int \left(3 + 4\cos \frac{16x}{3} + \cos \frac{32x}{3} \right) dx

Интегрируем каждый член:
\int 3 dx = 3x

\int \cos \frac{16x}{3} dx = \frac{3}{16} \sin \frac{16x}{3}

\int \cos \frac{32x}{3} dx = \frac{3}{32} \sin \frac{32x}{3}

Шаг 4: Записываем ответ

\frac{1}{8} \left( 3x + 4 \cdot \frac{3}{16} \sin \frac{16x}{3} + \frac{3}{32} \sin \frac{32x}{3} \right) + C

= \frac{3x}{8} + \frac{12}{128} \sin \frac{16x}{3} + \frac{3}{256} \sin \frac{32x}{3} + C

= \frac{3x}{8} + \frac{3}{32} \sin \frac{16x}{3} + \frac{3}{256} \sin \frac{32x}{3} + C

Ответ:

\frac{3x}{8} + \frac{3}{32} \sin \frac{16x}{3} + \frac{3}{256} \sin \frac{32x}{3} + C