Решить не используя замену

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление (неопределённые интегралы)

Решение:

Дан интеграл:

\int 5^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{dx}{x^2}

Рассмотрим его по частям. Представим в виде:

\int 5^{\frac{1}{x}} \cdot x^{-2} dx

Дифференцирование показателя:

Обозначим показатель экспоненты:

y = \frac{1}{x}

Тогда его производная:

\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{x^2}

Теперь представим интеграл в виде:

\int 5^y \cdot (-dy)

Используем стандартную формулу интегрирования показательной функции:

\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

Применяя её:

\int 5^y (-dy) = -\frac{5^y}{\ln 5} + C

Подставляем обратно y = \frac{1}{x}:

-\frac{5^{\frac{1}{x}}}{\ln 5} + C

Ответ:

-\frac{5^{\frac{1}{x}}}{\ln 5} + C