Решить не используя замену

Условие: Решить не используя замену

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление (неопределённые интегралы)

Дан интеграл:

$\int 5^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{d x}{x^{2}}$

Рассмотрим его по частям. Представим в виде:

$\int 5^{\frac{1}{x}} \cdot x^{- 2} d x$

Обозначим показатель экспоненты:

$y = \frac{1}{x}$

Тогда его производная:

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) = - \frac{1}{x^{2}}$

Теперь представим интеграл в виде:

$\int 5^{y} \cdot (- d y)$

Используем стандартную формулу интегрирования показательной функции:

$\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$

Применяя её:

$\int 5^{y} (- d y) = - \frac{5^{y}}{\ln 5} + C$

Подставляем обратно $y = \frac{1}{x}$ :

$- \frac{5^{\frac{1}{x}}}{\ln 5} + C$

$- \frac{5^{\frac{1}{x}}}{\ln 5} + C$

Время — это деньги!