Решить методом подведения под знак дифференциала

Задание по математике, раздел "Интегральное исчисление"

Решение метода подведения под знак дифференциала. Нам необходимо решить определённый интеграл: \[ \int\limits_{\sqrt{e}}^{e} \frac{\ln(x)}{x} \, dx. \] Используем метод подведения под знак дифференциала.

Шаг 1: Анализ структуры функции

Присмотримся к выражению \(\frac{\ln(x)}{x}\). Напоминаем, что производная функции \(\ln(x)\) равна \( \frac{1}{x} \). Это подсказывает, что \(\ln(x)\) удобно принять за функцию, связанную с подстановкой.

Шаг 2: Перепишем выражение как полный дифференциал

Объединим \(\frac{\ln(x)}{x}\) с дифференциалом \(dx\). Вспомним, что: \[ d(\ln^2(x)) = 2 \ln(x) \cdot \frac{1}{x} \, dx. \] Отсюда видно, что: \[ \frac{\ln(x)}{x} \, dx = \frac{1}{2} \, d(\ln^2(x)). \] То есть всю функциональную часть под интегралом можно представить как полный дифференциал.

Шаг 3: Сделаем подстановку под дифференциал

Заменим интеграл согласно найденной связи: \[ \int \frac{\ln(x)}{x} \, dx = \frac{1}{2} \int d(\ln^2(x)). \] В результате: \[ \int \frac{\ln(x)}{x} \, dx = \frac{1}{2} \ln^2(x) + C, \] где \(C\) — произвольная константа интегрирования.

Шаг 4: Решение определённого интеграла

Теперь вычислим определённый интеграл: \[ \int\limits_{\sqrt{e}}^{e} \frac{\ln(x)}{x} \, dx = \frac{1}{2} \Big[\ln^2(x)\Big]_{\sqrt{e}}^{e}. \] Рассчитаем значения на пределах:

1. При \(x = e\): \[ \ln(e) = 1, \quad \ln^2(e) = 1^2 = 1. \]
2. При \(x = \sqrt{e}\): \[ \ln(\sqrt{e}) = \frac{1}{2}, \quad \ln^2(\sqrt{e}) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}. \]

Подставим в формулу: \[ \int\limits_{\sqrt{e}}^{e} \frac{\ln(x)}{x} \, dx = \frac{1}{2} \Big[1 - \frac{1}{4}\Big] = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}. \]

Ответ:

\[ \int\limits_{\sqrt{e}}^{e} \frac{\ln(x)}{x} \, dx = \frac{3}{8}. \]